Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo.
Habe folgende Aufgabe.
Ein oben offener quaderförmiger Blechbehälter soll ein gegebenes Volumen V aufnehmen. Die Seitenlängen a, b
und c sollen so gewählt werden, dass das zur Herstellung nötige Blech
minimalen Flächeninhalt A hat. Berechnen Sie a, b, c sowie die minimale
Fläche (in Abhängigkeit vom gegebenen V).
Nun die Formel für das Volumen V = a*b*c ( hauptbedingung )
die Formel für die Fläche : a*b+2*(a*c+b*c)
Und wie mache ich weiter ? Wenn ich die 1. in die 2. einsetzte :
Oberfläche : V/c+2*(v/b+v/a)
So und nun ?
Danke für hilfe
|
|
| |
|
Habe die einzelnen Produkte der Flächenstücke durch V ausgedrückt. z.B.
V=a*b*c und a*c mit a = V/(b*c) => V*c/(b*c) =>a*c == V/b
Lagrange sagt mir leider nix. Konntest du mir vielleicht den Ansatz geben dann kann ich es weiter probieren. Wäre super
|
|
|
| |
|
Hallo, sortieren wir zunächst. die Hauptbedingung ist A(a,b,c)=ab+2ac+2bc, die Nebenbedingung ist V=a*b*c, das Volumen V ist bekannt, [mm] c=\bruch{V}{a*b}
[/mm]
[mm] A(a,b)=ab+\bruch{2V}{b}+\bruch{2V}{a}
[/mm]
jetzt sind die partiellen Ableitungen fällig, nach a und nach b
Steffi
|
|
|
| |
|
Okay,
dann den bekannten weg also die entsprechenden nach 0 auflösen, so erhalte ich a,b,c und damit A ausrechnen, oder ?
Sprich ich suche garkeinen Extrempunkt dann weiter.
gruss
|
|
|
| |
|
> Okay,
> dann den bekannten weg also die entsprechenden nach 0
> auflösen, so erhalte ich a,b,c und damit A ausrechnen, oder
> ?
Hallo,
Du sprichst ein in Rätseln.
Wenn Du den "bekannten Weg" einfach mal durchführen würdest, könnte man sehen, ob's richtig ist.
> Sprich ich suche garkeinen Extrempunkt dann weiter.
???
Das irritiert mich nun wirklich: ich dachte, Du wolltest den Flächeninhalt minimieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Bei der resultierenden Funktion :
[mm] A(a,b)=ab+\bruch{2V}{b}+\bruch{2V}{a} [/mm] führe ich die partiellen Ableitungen durch :
[mm] Aa(a,b)=b-\bruch{2V}{a^2}
[/mm]
[mm] Ab(a,b)=a-\bruch{2V}{b^2}
[/mm]
[mm] Aaa(a,b)=\bruch{4V}{a^3}
[/mm]
[mm] Abb(a,b)=\bruch{4V}{b^3}
[/mm]
Aab(a,b)=Aba(a,b) =1
Nun setze ich [mm] Ab(a,b)=a-\bruch{2V}{b^2} [/mm] gleich 0 und löse nach a auf.
[mm] a=\bruch{2V}{b^2}.
[/mm]
Dies setze ich in [mm] Aa(a,b)=b-\bruch{2V}{a^2} [/mm] für a eine, dann gleich 0 setzen und nach b auflösen.
[mm] b=\wurzel[3]{2V}
[/mm]
damit kann ich ja dann A und c ausrechnen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 16.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
Das stimmt soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nicht vergessen, anschließend mittels Hessematrix die ermittelten Extremwertkandidaten nachzuweisen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Meine Hessematrix
[mm] \pmat{ \bruch{4V}{a^3} & 1 \\ 1 & \bruch{4V}{b^3} }
[/mm]
So und nun ?
Determinante ist [mm] \bruch{16V^2}{a^3b^3}-1.
[/mm]
Gut jetzt könnte man sagen ein Minimun liegt vor da D>0 ist.
Aber ist dann der Flächeninhalt minimal wie es Angela meinte ?
|
|
|
| |
|
> Meine Hessematrix
> [mm]\pmat{ \bruch{4V}{a^3} & 1 \\ 1 & \bruch{4V}{b^3} }[/mm]
> So und
> nun ?
> Determinante ist [mm]\bruch{16V^2}{a^3b^3}-1.[/mm]
> Gut jetzt könnte man sagen ein Minimun liegt vor da D>0
> ist.
Hallo,
wie hast Du das gesehen?
In die Hessematrix müßtest Du nun doch Deine errechneten Punkte einsetzen.
Du hattest doch [mm] b=(2V)^{\bruch{1}{3}}, [/mm] also ist a=???. (Wenn Du a und b kennst, kennst Du auch c. c= ???)
Eingesetzt in die Hessematrix erhält man ???, woraus man schließen kann, daß ???.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Do 16.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> ?
??
Was willst du mit dieser Frage bezwecken?
Marius
|
|
|
| |
|
Hatte den Rest nicht eingefügt,sorry
Meine Hessematrix
$ [mm] \pmat{ \bruch{4V}{a^3} & 1 \\ 1 & \bruch{4V}{b^3} } [/mm] $
So und nun ?
Determinante ist $ [mm] \bruch{16V^2}{a^3b^3}-1. [/mm] $
Gut jetzt könnte man sagen ein Minimun liegt vor da D>0 ist.
Aber ist dann der Flächeninhalt minimal wie es Angela meinte ?
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Lagrange-Funktion
