Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe - Vorkurse

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Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe

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Extremwertaufgabe: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:56 Sa 12.03.2005
Autor:	Line87

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www. rennmaus.de

Bitte helft mir. Bin schon an dieser aufgabe verzweifelt! krieg nichtmal die zielformel und nebenbedingung hin.

Anwendung Differenzialrechnung, Extremwertaufgabe Gymnasium Klasse 11

Einem geraden Kreiszylinder mit gegebenen Grundkreisdurchmesser d und der Höhe h soll der Kreiskegel mit dem kleinsten Volumen umschrieben werden. Bestimmen sie für diesen Fall Grunkreisradius, Höhe , Volumen des Kegels

Besonders verwirrt mich, dass hier wirklich überhaupt keine Größe gegeben ist

Bezug

Extremwertaufgabe: Tipps

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:17 Sa 12.03.2005
Autor:	Fugre

> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www. rennmaus.de
>
> Bitte helft mir. Bin schon an dieser aufgabe verzweifelt!
> krieg nichtmal die zielformel und nebenbedingung hin.
>
> Anwendung Differenzialrechnung, Extremwertaufgabe Gymnasium
> Klasse 11
>
> Einem geraden Kreiszylinder mit gegebenen
> Grundkreisdurchmesser d und der Höhe h soll der Kreiskegel
> mit dem kleinsten Volumen umschrieben werden. Bestimmen sie
> für diesen Fall Grunkreisradius, Höhe , Volumen des Kegels
>
>
> Besonders verwirrt mich, dass hier wirklich überhaupt keine
> Größe gegeben ist
>

Hallo Line,

also versuchen wir es mal. Ich hab dir hier eine Skizze angefertigt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Innen ist der Querschnitt des Zylinders und außen der des Kegels.
Zeichnest du jetzt die Symmetrieachse ein, so kannst du dieses Dreieck
in 2 rechtwinklige Dreiecke aufspalten. Mit Hilfe der Strahlensätze wirst du
feststellen, dass das Verhältnis der Strecken EH zu AH gleich dem von
EL (L soll auf der Strecke liegen) zu FL ist. FL ist gleich dem Radius des
Kegels und AH gleich dem des Zylinders.

Vielleicht helfen dir diese Hinweise ja schon weiter, ansonsten meldest du dich einfach noch
mal.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

Liebe Grüße
Fugre

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]

Bezug

Extremwertaufgabe: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:56 Sa 12.03.2005
Autor:	Line87

dank die erstmal. Habe jetzt die Skizze übernommen und die Strahlensätze aufgestell. Die sind doch die nebenbedingung- oder? Aber was ist die Zielformel und das nutzen mir die Radiusinfos, ohne dass ich irgendeine Größe gegeben habe. Vielleicht nimmt ja irgend ne Formel mit /pi? Also wäre sehr nett, wenn du mir weiter helfen würdest.

Bezug

Extremwertaufgabe: Zielfunktion: Volumen (edit.)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:16 Sa 12.03.2005
Autor:	Loddar

Hallo Line87,

zunächst auch Dir [willkommenmr]

!!

> Habe jetzt die Skizze übernommen und die Strahlensätze
> aufgestellt. Die sind doch die nebenbedingung- oder?

Genau!
Wie lauten denn Deine Beziehungen?

> Aber was ist die Zielformel und das nutzen mir die
> Radiusinfos, ohne dass ich irgendeine Größe gegeben habe.

Gefragt ist gemäß nach dem "kleinstem Volumen des Kegels".

Also ist die Zielfunktion (= Hauptbedingung) die Volumenformel eines Kegels:

[mm] $V_{Kegel}(d_K, h_K) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{\pi * d_K^2}{4} [/mm] * [mm] h_K$ [/mm]

Die (Kegel-)Größen [mm] $d_K$ [/mm] und [mm] $h_K$ [/mm] mußt Du nun darstellen durch die (Zylinder-)Größen [mm] $d_Z$ [/mm] und [mm] $h_Z$. [/mm]
Aber das hast Du mit den Strahlensatzbeziehungen bereits gemacht ...

Letztendlich brauchst Du als Zielfunktion eine Funktion [mm] $V_{Kegel} (d_{\red{Z}}, h_{\red{Z}})$, [/mm] die nur noch von den Werten [mm] $d_{\red{Z}}$ [/mm] und [mm] $h_{\red{Z}}$ [/mm] abhängt (es dürfen als Größen also nur diese beiden Größen [mm] $d_Z$ [/mm] und [mm] $h_Z$ [/mm] auftreten).

Letztendlich brauchst Du als Zielfunktion eine Funktion [mm] $\blue{V_{Kegel} (d_{\red{K}})}$ [/mm] oder [mm] $\blue{V_{Kegel} (h_{\red{K}})}$, [/mm] die nur noch von [mm] $\blue{d_{\red{K}}}$ [/mm] oder [mm] $\blue{h_{\red{K}}}$ [/mm] abhängt.
Es dürfen neben der Variablen [mm] $\blue{d_{\red{K}}}$ [/mm] oder [mm] $\blue{h_{\red{K}}}$ [/mm] als Größen nur die beiden Größen [mm] $\blue{d_Z}$ [/mm] und [mm] $\blue{h_Z}$ [/mm] als (konstante) Parameter auftreten.

Diese beiden Werte [mm] $d_Z$ [/mm] und [mm] $h_Z$ [/mm] sind die Werte, die Dir aus der Aufgabenstellung als konstant vorgegeben sind.
Betrachte also einfach [mm] $d_Z$ [/mm] und [mm] $h_Z$ [/mm] wie irgendwelchen beliebigen (aber konstanten) Zahlen.

Kommst Du nun etwas weiter?
Sonst einfach nochmal fragen ...

Gruß
Loddar

Bezug

Extremwertaufgabe: Rückfrage 2

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:36 Sa 12.03.2005
Autor:	Line87

Auch danke dir, loddar.
So, nun habe ich die nebenbedingung (strahlensatz) und die Hauptbedingung ( Volumen des Kegels) abhänig von dz und hz.
Ich muss doch aber nun die nebenbedingung zu einer größe umstellen, die in der Hauptbedingung vorhanden ist. Aber in der Nebenbedingung befinden sich doch nur strecken!?

Bezug

Extremwertaufgabe: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:14 Sa 12.03.2005
Autor:	Loddar

Hallo Line87,

bitte beachten, ich habe in meiner obigen Antwort etwas Käse verzapft (ist aber nun korrigiert)

...

> So, nun habe ich die nebenbedingung (strahlensatz) und die
> Hauptbedingung (Volumen des Kegels) abhänig von dz und hz.
> Ich muss doch aber nun die nebenbedingung zu einer größe
> umstellen, die in der Hauptbedingung vorhanden ist. Aber in
> der Nebenbedingung befinden sich doch nur strecken!?

Was stört Dich denn daran?
Gemäß der Skizze von Fugre haben wir ja aus dem räumlichen Problem ein ebenes Problem gemacht - und da sind nunmal Strecken unsere bekannten und unbekannten Größen ...

Hauptbedingung:
$V \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{\pi * d_K^2}{4} [/mm] * [mm] h_K [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * [mm] d_K^2 [/mm] * [mm] h_K$ [/mm]

Nebenbedingung (Strahlensatz):

[mm] $\bruch{\bruch{d_Z}{2}}{\bruch{d_K}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h_K-h_Z}{h_K}$ $\gdw$ $h_K [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h_Z}{1 - \bruch{d_K}{d_Z}}$ [/mm]

Das setzen wir nun ein in die Hauptbedingung und erhalten unsere Zielfunktion:

$V \ = \ [mm] V(d_K) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * [mm] d_K^2 [/mm] * [mm] h_K [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] * [mm] d_K^2 [/mm] * [mm] \bruch{h_Z}{1 - \bruch{d_K}{d_Z}}$ [/mm]

Mit dieser Funktion (zunächst noch etwas zusammenfassen) nun eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchführen ...

Gruß
Loddar

Bezug

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