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Extremwertaufgabe: die letzte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Mo 07.03.2005
Autor: halebob1982

hi,

ich habe diese frage in keinem anderen forum im internet gestellt.

also, bei dieser aufgabe kapier ich garnichts. bei den anderen aufgaben dieser art hatte ich wenigstens noch einen ansatz, aber hier?


Eine oben offene Rinne soll aus 4 Brettern gleicher Breita a so hergestelt werden, dass der Querschnitt der Rinne möglichst groß ist. Wie groß ist der Winkel [mm] \alpha [/mm] zu wählen?

[Dateianhang nicht öffentlich]


vielen dank für eure hilfe
jan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Extremwertaufgabe: Lösungsidee ohne Garantie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Mo 07.03.2005
Autor: oliver.schmidt

[Dateianhang nicht öffentlich]

ich habe mnir folgendes überlegt, ich hoffe ich lieg da nicht daneben

die Querschnittsfläche wird in der Mitte in zwei Trapeze geteilt, jedes Trapez hat die Fläche [mm] \bruch{(a+b+a)*x}{2}, [/mm] also ergibt sich für die Querschnittsfläche (2a+b)*x

es gilt ausserdem:

sin [mm] \alpha =\bruch{x}{a} [/mm]
cos [mm] \alpha =\bruch{b}{a} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] b=a*cos [mm] \alpha [/mm]
x=a* sin [mm] \alpha [/mm]

eingesetzt in die Querschnittsfläche ergibt sich:

[mm] A(\alpha)=(2a+a*cos \alpha)*a*sin \alpha=2a^2*sin \alpha+a^2*sin \alpha*cos \alpha [/mm]

das sollte sich ja jetzt problemlos differenzieren lassen...


Gruß
OLIVER
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Di 08.03.2005
Autor: halebob1982

hi,

ich hatte vergessen di lösung hinzuschreiben.
[mm] \alpha [/mm] = 68,53°
Q = [mm] 2,20a^2 [/mm]

zu deiner antwort: wenn ich [mm] A(\alpha) [/mm] ableite erhalte ich doch das oder?

[mm] A'(\alpha) [/mm] = [mm] 2a^2 [/mm] * [mm] cos\alpha [/mm] - [mm] a^2 [/mm] * [mm] sin\alpha cos\alpha [/mm]

was muß ich dann weiter machen?

wenn ich das gleich 0 setze, kommt bei mir [mm] sin\alpha [/mm] = 2 raus.

und was verstehst du hier unter der querschnittsfläche? das dreieck?
Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 08.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Halebob!

> zu deiner antwort: wenn ich [mm]A(\alpha)[/mm] ableite erhalte ich
> doch das oder?
>  
> [mm]A'(\alpha)[/mm] = [mm]2a^2[/mm] * [mm]cos\alpha[/mm] - [mm]a^2[/mm] * [mm]sin\alpha cos\alpha[/mm]

[notok] Den 2. Teil [mm] $a^2 [/mm] * [mm] \sin(\alpha)*\cos(\alpha)$ [/mm] mußt Du mit der MBProduktregel ableiten ...


Ich erhalte hier:
[mm] $A'(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] * [mm] \cos(\alpha) [/mm] \ + \ [mm] a^2 [/mm] * [mm] \left[ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \right] [/mm] \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] * [mm] \cos(\alpha) [/mm] \ + \ [mm] a^2 \cos^2(\alpha) [/mm] - [mm] a^2 [/mm] * [mm] \left[ 1 - \cos^2(\alpha) \right] [/mm] \ = \ ...$

Um die Nullstellen für [mm] $\alpha$ [/mm] zu ermitteln, mußt Du dann noch substituieren: $z \ := \ [mm] \cos(\alpha)$ [/mm] und anschließen die entstehende quadratische Gleichung lösen ...




> und was verstehst du hier unter der querschnittsfläche? das
> dreieck?

Nein, die Querschnittsfläche [mm] $A(\alpha)$ [/mm] ist bereits der gesamte Rinnenquerschnitt (Rechteck mit druntergesetztem Dreieck), also Dein $Q$ aus der Lösungsvorgabe:

[mm] $A_{Rechteck} [/mm] \ = \ 2x * a \ = \ 2 * [mm] \underbrace{a * \sin(\alpha)}_{= \ x} [/mm]  \ * \ a \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] * [mm] \sin(\alpha)$ [/mm]

[mm] $A_{Dreieckeck} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2x * b \ = \ x * b \ = \ [mm] \underbrace{a * \sin(\alpha)}_{= \ x} [/mm] * [mm] \underbrace{a * \cos(\alpha)}_{= \ b} [/mm] \ = \ [mm] a^2 [/mm] * [mm] \sin(\alpha)*\cos(\alpha)$ [/mm]

$Q \ = \ [mm] A(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] A_{Rechteck} [/mm] + [mm] A_{Dreieck} [/mm] \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] * [mm] \sin(\alpha) [/mm] + [mm] a^2 [/mm] * [mm] \sin(\alpha)*\cos(\alpha)$ [/mm]
(siehe auch Antwort von Oliver !!)

Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: ich stimme Loddar zu !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 08.03.2005
Autor: oliver.schmidt

Hallo,

ich stimme Loddar bei, mit Querschnittsfläche meinte ich übrigend die gesamte Fläche, also wie Loddar schrieb, das Rechteck mit unten angefügtem Dreieck (ich hab das ganze Gebilde als zwei Trapeze gesehen, eins links, eins rechts, siehe Skizze

als Ableitung hast du ja schon Loddars Antwort, ich bin auf dasselbe gekommen.

Gruß
OLIVER
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