Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 So 28.09.2008 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Mit einem Zaun soll ein rechteckiger Platz eingegrenzt werden, und zwar so, dass der Flächeninhalt des Platzes 24 [mm] m^2 [/mm] beträgt.
Wie sind Länge und Breite des Platzes zu wählen, damit am wenigsten Zaun benötigt wird?
|
Hi,
mein Ansatz
I. 24=a*b
II. U(a;b)=2a+2b
Jedoch komme ich hier auf die Zielfunktion [mm] U(b)=2b^2+48 [/mm] und dafür gibt es keine Lösung kann mir jemand weiterhelfen. Danke.
Gruß Tom
|
|
| |
|
Hallo Rated-R,
> Mit einem Zaun soll ein rechteckiger Platz eingegrenzt
> werden, und zwar so, dass der Flächeninhalt des Platzes 24
> [mm]m^2[/mm] beträgt.
>
> Wie sind Länge und Breite des Platzes zu wählen, damit am
> wenigsten Zaun benötigt wird?
>
> Hi,
>
> mein Ansatz
>
> I. 24=a*b
>
> II. U(a;b)=2a+2b
>
> Jedoch komme ich hier auf die Zielfunktion [mm]U(b)=2b^2+48[/mm] und
> dafür gibt es keine Lösung kann mir jemand weiterhelfen.
> Danke.
Da hat sich ein Fehler eingeschlichen:
[mm]24=a*b \Rightarrow a=\bruch{24}{b}[/mm]
Dann ergibt sich die Zielfunktion zu
[mm]U\left(a;b\right)=2a+2b=2*\bruch{24}{b}+2b=:U\left(b\right)[/mm]
Die Funktion [mm]U\left(b\right)[/mm] gilt es nun zu minimieren.
>
> Gruß Tom
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 28.09.2008 | | Autor: | Rated-R |
Danke für deine Antwort!
Soweit war ich auch
[mm] U(b)=2*\bruch{24}{b}+2b
[/mm]
[mm] U(b)=\bruch{48}{b}+2b
[/mm]
jetzt komm ich allerdings nicht weiter, oder kann ich den bruch auflösen?
|
|
|
| |
|
Hallo Rated-R,
> Danke für deine Antwort!
>
> Soweit war ich auch
>
> [mm]U(b)=2*\bruch{24}{b}+2b[/mm]
> [mm]U(b)=\bruch{48}{b}+2b[/mm]
>
> jetzt komm ich allerdings nicht weiter, oder kann ich den
> bruch auflösen?
Jetzt muss Du die 1. Ableitung von [mm]U\left(b\right)=0[/mm] setzen.
Die Lösung davon ist ein möglicher Kandidat für ein Minimum.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 28.09.2008 | | Autor: | Rated-R |
[mm] U(b)=\bruch{48}{b}+2b
[/mm]
U(b)=48*b^(-1)+2b
U(b)'=48+2
Daraus werde ich auch nicht schlau, die Aufgabe war bei uns unter den leichten eingeordnet, ich steh grad aufm Schlauch...
|
|
|
| |
|
Hallo Rated-R,
> [mm]U(b)=\bruch{48}{b}+2b[/mm]
> U(b)=48*b^(-1)+2b ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> U(b)'=48+2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was ist hier passiert mit dem [mm] $48b^{-1}$
[/mm]
Leite den ersten Term "ganz normal" gem. Potenzregel ab: [mm] $f(x)=a\cdot{}x^n\Rightarrow f'(x)=n\cdot{}a\cdot{}x^{n-1}$
[/mm]
Rechne also nochmal die Ableitung richtig aus, dann klappt das auch mit dem Nullsetzen ...
>
> Daraus werde ich auch nicht schlau, die Aufgabe war bei uns
> unter den leichten eingeordnet, ich steh grad aufm
> Schlauch...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 28.09.2008 | | Autor: | Rated-R |
Achso hab ich nicht so drangedacht
U(b)'=-48b^-2+2
0 = -48b^-2+2
Die kann ich aber glaub ich mit meinen Wissen nicht lösen...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Achso hab ich nicht so drangedacht
>
> U(b)'=-48b^-2+2
> 0 = -48b^-2+2
>
> Die kann ich aber glaub ich mit meinen Wissen nicht
> lösen...
Aber sicher kannst du das, und du kannst es seit einigen Jahren schon.
Ich schreibe es nochmal um, dann fällt der Groschen:
[mm] $U'(b)=0\gdw -\frac{48}{b^2}+2=0\gdw \frac{48}{b^2}=2$
[/mm]
Nun [mm] $\cdot{}b^2$ [/mm] auf beiden Seiten rechnen...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 So 28.09.2008 | | Autor: | Rated-R |
[mm] \bruch{48}{b^2}=2
[/mm]
[mm] 48=2b^2
[/mm]
[mm] 24=b^2
[/mm]
[mm] \wurzel{24}=b
[/mm]
[mm] 24=\wurzel{24}*a \gdw [/mm] a = [mm] \wurzel{24}
[/mm]
[mm] 2*\wurzel{24}+2*\wurzel{24}= [/mm] 19,6 m minimaler Umfang
Ich hoffe das stimmt.
Vielen Dank füre eure Hilfe!!!!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\bruch{48}{b^2}=2[/mm]
>
> [mm]48=2b^2[/mm]
> [mm]24=b^2[/mm]
> [mm]\wurzel{24}=b[/mm]
Hast du dich denn davon überzeugt, dass der Kandidat [mm] $b=\sqrt{24}$ [/mm] auch wirklich ein Minimum ist?
Dazu müsst ja [mm] $U''(\sqrt{24})>0$ [/mm] sein ...
>
> [mm]24=\wurzel{24}*a \gdw[/mm] a = [mm]\wurzel{24}[/mm]
>
> [mm]2*\wurzel{24}+2*\wurzel{24}=[/mm] 19,6 m minimaler Umfang
>
> Ich hoffe das stimmt.
Ja, die Rechnungen sind richtig! Aber es ist nicht geklärt, ob $U$ an der Stelle [mm] $b=\sqrt{24}$ [/mm] auch wirklich ein Min. hat...
>
> Vielen Dank füre eure Hilfe!!!!
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
