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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 14.08.2008 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | Ein Unternehmen hat zwei unabhängige Verkaufsfilialen, deren Gewinne G1(x) bzw G2(y) von den eingesetzten Kapitalmengen x und y in folgender Weise abhängen:
G1(x) = ln(1+x)
G2(y) = y/(1+y)
Bestimmen Sie den maximalen Gewinn G1(x) + G2(y) unter der Bedingung, dass insgesamt 10 Geldeinheiten zur Verfügung stehen. |
Ich also aufgestellt:
Gmax = ln(1+x) + y/(1+x) soll maximiert werden
mit 10 = x+y
y= 10-x
Nun sollte ich die erste Ableitung bilden.
G' = 1/(1+x) + [mm] (-11+x+10-x)/(11-x)^2
[/mm]
G' = 1/(1+x) - [mm] 1/(11+x)^2
[/mm]
ist soweit alles richtig?
Ich habe nun alles auf einen Bruch gebracht:
G'= [mm] ((11+x)^2 [/mm] - [mm] (1-x))/(1+x)*(11+x)^2
[/mm]
Dieses ausmultipliziert und bekomme:
G' = [mm] (x^2 [/mm] + 21*x + 120) / [mm] (x^3 [/mm] + 21*x + 143*x + 121).
Das sollte ich nun = 0 setzen und mit der PQ-Formel ausrechnen.
Allerdings wird die Wurzel negativ und ich weiss nicht wo mein Fehler liegt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist alles Korrekt soweit, du kannst das ganze auch Einfacher haben.
[mm] G_{gesamt}=G_{1}(x)+G_{2}(y)
[/mm]
[mm] =\ln(1+x)+\bruch{y}{1+\red{y}}
[/mm]
[mm] \ln(1+x)+\bruch{10-x}{1+(10-x)}
[/mm]
[mm] =\green{\ln(1+x)}+\blue{\bruch{10-x}{11-x}}
[/mm]
Und jetzt Ableiten
[mm] G'(x)=\green{\bruch{1}{x+1}*1}+\blue{\bruch{-1*(11-x)-(-1)*(10-x)}{(11-x)²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x+1}+\bruch{-11+x+10-x}{(11-x)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x+1}-\bruch{1}{(11-x)²}
[/mm]
Wenn du das jetzt gleich 0 setzt, ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{x+1}=\bruch{1}{(11-x)²}
[/mm]
[mm] \gdw x+1=(11-x)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x+1=121-22x+x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}-2\red{3}x+120=0
[/mm]
EDIT
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
> Wenn du das jetzt gleich 0 setzt, ergibt sich:
> [mm]\bruch{1}{x+1}=\bruch{1}{(11-x)²}[/mm]
> [mm]\gdw x+1=(11-x)^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x+1=121-22x+x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-21x+120=0[/mm]
Kann schon sein, denn es heißt entweder:
[mm] x^{2}-23x+120=0 [/mm] oder [mm] -x^{2}+23x-120=0
[/mm]
Beim letzten Schritt haste dich bissl verwurschtelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
... und damit kommst du auch zu einem Ergebnis
Marius
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:43 Do 14.08.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo M.Rex,
du hast leider einen kleinen Fehler gemacht:
> Wenn du das jetzt gleich 0 setzt, ergibt sich:
> [mm]\bruch{1}{x+1}=\bruch{1}{(11-x)²}[/mm]
> [mm]\gdw x+1=(11-x)^{2}[/mm]
> [mm]\gdw x+1=121-22x+x^{2}[/mm]
> [mm] $\color{red}\gdw x^{2}-21x+120=0$
[/mm]
>
> Und das kann tatsächlich so nicht sein.
Es muss heißen
[mm] $x^2-23x+120=0$
[/mm]
Dann kommt man auch auf zwei Lösungen: 7 und 14
Lieben Gruß,
Fulla
EDIT: huch, Ihr seid aber auch schnell hier 
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:45 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hat recht, ich habe es auch schon mitgeteilt.
Marius
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