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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Mi 09.01.2008
Autor: Informacao

Aufgabe
Gegeben sind: [mm] T(-\wurzel{a}/-\bruch{2}{\wurzel{a}}) [/mm] und [mm] H(\wurzel{a}/\bruch{2}{\wurzel{a}}) [/mm]

Die Strecke von T nach H soll die Seite eines Quadrats bilden. Ermitteln Sie den Wert von a, für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird.

Hallo,

allsooo.. sitze schon was länger daran... Habe mir dann mal eine "Musterlösung" angeschaut, die so aussieht:

Da der Graph punktsymmetrisch ist gilt für die Strecke zwischen Hoch- und Tiefpunkt:

b = 2*l
mit l² = (√a)² + (2/√a)²
=> l = √(a+4/a)

A(a) = b²
A(a) = (2√(a+4/a))²
A(a) = 4a+16/a

A'(a) = 4 - 16/a²
A''(a) = 32/a³

notw. Bedingung: A'(a) = 0
4 - 16/a² = 0
a = 2 v a = -2 (für eine Strecke nicht definiert)

hinreichende Bed: A'(a) = 0 ∧ A''(a) ≠ 0
A''(2) = 32 / 8 = 4 > 0

-> Minimum bei a = 2

______________________________

Im Prinzip kann ich das ja auch nachvollziehen..mein Problem aber: Wie kommt man auf den allerersten Schritt??Also wieso gilt, dass b=2*l ist.. ? Und was hat das mit der Punktsymmetrie zu tun??

Würde mich über jede Hilfe freuen!
LG
Informacao

        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mi 09.01.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Da die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist, geht auch die Verbindungslinie, du hast diese mit b benannt durch diesen, mehr noch, der Ursprung teilt b in zwei gleich lange Teilstrecken der Länge l.

Und jetzt kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras diese Strecke l berechnen, mit [mm] l²=x_{e}²+f(x_{e})², [/mm] wobe [mm] x_{e} [/mm] die  hier gegebene Koordinate des Extrempunktes ist, also [mm] \wurzel{a} [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:53 Mi 09.01.2008
Autor: Informacao

Danke für die gute Erklärung! Jetzt versuche ich es mal!

LG

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mi 09.01.2008
Autor: Informacao


>  
> Und jetzt kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras
> diese Strecke l berechnen, mit [mm]l²=x_{e}²+f(x_{e})²,[/mm] wobe
> [mm]x_{e}[/mm] die  hier gegebene Koordinate des Extrempunktes ist,
> also [mm]\wurzel{a}[/mm]

Hi,

habe doch nochmal eine Frage.. wie kommt man dann denn auf den Pythagoras?

LG

Informacao

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Do 10.01.2008
Autor: M.Rex

Hallo.

Zieh mal die Verbindungslinie vom Extrempunkt zur x-Achse, und gehe von dort dann zum Ursprung entlang der x-Achse.

Dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck

Marius

Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:16 Do 10.01.2008
Autor: Informacao

Stimmt. Danke :)

Bezug
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