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Extremwertaufgabe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Sa 04.03.2006
Autor: Ninchen2000

Aufgabe
Ein gleichschenkeliges Trapez mit dem Böschungswinkel α=60° ist Querschnitt eines 100m langen Stollens mit der vorgegebenen Querschnittsfläche A. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Größe der (etwa mit Spritzbeton) zu befestigendem Wand- und Bodenflächen minimal wird?

Meine Hauptbedingung ist also, dass der Flächeninhalt von 3 Flächen (2 Seitenfläche und Grundfläche) minimal werden: Also: a.100 + a.b  minimal (a=Grundkante des Trapezes, b=Seitenkante des Trapezes). Aber wo bekomme ich die Nebenbedingung her? Ich vermute es muss etwas mit dem Böschungswinkel auf sich haben.

Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
        
Bezug
Extremwertaufgabe: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Sa 04.03.2006
Autor: informix

Hallo ninchen und [willkommenmr]

> Ein gleichschenkeliges Trapez mit dem Böschungswinkel
> α=60° ist Querschnitt eines 100m langen Stollens mit
> der vorgegebenen Querschnittsfläche A. Wie sind die
> Abmessungen zu wählen, damit die Größe der (etwa mit
> Spritzbeton) zu befestigendem Wand- und Bodenflächen
> minimal wird?
>  Meine Hauptbedingung ist also, dass der Flächeninhalt von
> 3 Flächen (2 Seitenfläche und Grundfläche) minimal werden:

[daumenhoch]
Allerdings werden die Seitenflächen einerseits von der Länge 100 des Stollens bestimmt.
Andererseits aber von den Seitenlinien des Trapezes, dessen Fläche du mit A "kennst".
Es kommt eigentlich nur auf die Seitenlinien an:
Wenn ihre Summe möglichst klein wird, wird auch die Gesamtfläche am kleinsten sein:
(a*100 + 2b*100) = (a + 2b) * 100

> Also: a.100 + a.b  minimal (a=Grundkante des
> Trapezes, b=Seitenkante des Trapezes). [notok]

> Aber wo bekomme ich
> die Nebenbedingung her? Ich vermute es muss etwas mit dem
> Böschungswinkel auf sich haben.

aus der Flächenangabe des Querschnitts: $A = [mm] \bruch{1}{2}(a+c)*h$ [/mm]

mit anderen Worten:
der (teilweise) Umfang U des Trapezes (Seitenkanten und Grundlinie) soll möglichst klein werden, und die Fläche A ist die begrenzende Nebenbedingung.

Stell mal diese beiden Gleichungen auf!
Um h zu ermitteln, brauchst du den Winkel [mm] \alpha, [/mm] ebenso für c.

Gruß informix

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