Extremwertaufg.: Kegel, max V < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Zephyr |
| Aufgabe | | Ein zur y-Achse symmetrisches gleichschenkliges Dreieck hat seine Spitze in C (0|12). Die Ecken A und B liegen im Intervall [-3;3]. Dieses Dreieck rotiert um die y-Achse und erzeugt dabei einen Kegel. Wie muß man die Punkte A und B wählen, damit der Kegel einen maximalen Rauminhalt hat? Wie groß ist dieser? |
Hallo!
[mm] V=\bruch{1}{3} \pi r^{2}h [/mm] ist meine Extrembedingung
Ich finde aber keine schöne Formel, die als Variablen nur r und h enthält und als Nebenbedingung dienen könnte~
Hilfe? :)
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Zephyr,
überleg dir doch erstmal, was h und r bei deiner Aufgabe sind:
Du hast einen Punkt fest gegeben, nämlich C(0;12). Dieser Punkt ist in dem gesuchten Kegel die Spitze. Und die Lage der Grundfläche kannst du auch nicht ändern, nur deren Größe. Also ist deine Höhe h fest gegeben (kannst du auch sagen, welchen Wert h hat?).
Jetzt zum Radius, bzw. zu den Punkten A und B, die beide auf der x-Achse liegen. Da das Dreieck gleichschenklig ist, liegen die beiden Punkte gleich weit vom Ursprung entfernt
(da der dritte Punkt C des Dreiecks die x-Koordinate 0 hat. Wäre C z.B. (2;12) müssten A und B symmetrisch um (2;0) liegen).
Also ist A(-r;0) und B(r;0). Die Bezeichnug r für die x-Koordinaten der Punkte habe ich nicht willkürlich gewählt, sondern sie sind wirklich der Radius r der Grundfläche des Kegels.
Die in der Aufgabe gegebene Nebenbedingung ist jetzt, dass A und B in einem bestimmten Intervall liegen. Was heißt dass für r? Bei welchem erlaubten r ist das Volumen also maximal?
Kommst du jetzt mit der Aufgabe zurecht?
Gruß,
Vreni
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:46 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Zephyr |
Wo liest du ab, dass die Punkte A und B genau auf der x-Achse liegen?
Die Höhe ist lediglich mit einem Punkt am Koordinatensystem fixiert, warum sollte der zweite Punkt also nicht bei (21|0) liegen?
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> Wo liest du ab, dass die Punkte A und B genau auf der
> x-Achse liegen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ein gleichschenkliges Dreieck ist vorgegeben, ebenso, daß seine Symmetrieachse die y-Achse sein soll, und daß die Höhe mit dieser zusammenfällt.
Um das Problem möglichst angemessen und einfach zu bearbeiten, lege ich jetzt die x-Achse nicht irgendwohin, sondern natürlich so, daß mein Dreieck schön manierlich in der xy-Ebene liegt.
Verstehst Du? Wir suchen ein Koordinatensystem, welches für unser Problem gut paßt.
Und in solch einem Koordinatensystem habe die Punkte A,B in der Tat Vrenis Koordinaten (-r,0) und (r,0) mit [mm] r\in [/mm] [-3,3].
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Zephyr,
der von dir genannte Punkt kann es auf gar keinen Fall sein, da noch die Information gegeben ist, dass A und B im Intervall [-3;3] liegen. Ich habe, da keine weiteren Angaben zu diesem Intervall gemacht wurden, gedacht es bezieht sich auf das Intervall [-3;3] auf der x-Achse, da das Intervall [-3;3] auf der y-Achse kein Dreieck ergeben hätte. Wenn man die Aufgabenstellung so liest, müsste meine Antwort stimmen.
Wenn man die Aufgabe so liest, dass die x-Koordinaten von A und B im Intervall [-3;3] liegen sollen (und eine weitere plausible Interpretation des Intervalls [-3;3] fällt mir nicht ein), hätten A und B immer noch die gleiche y-Koordinate, da das Dreieck gleichschenklig und symmetrisch ist (im Zusammenhang mit der Drehung um die y-Achse würde es mich verwundern, wenn hier nicht die Symmetrie zur y-Achse gemeint wäre). Dann wäre die Lösung für die x-Koordinaten von A und B -3 bzw. 3, da die x-Koordinate nur den Radius beeinflusst und die y-Koordinate nur die Höhe, beide also unabhängig voneinander optimiert werden können. Die Lösung für die y-Koordinaten wäre dann aber [mm] -\infty, [/mm] und ich glaube mal nicht, dass das eine realistische Lösung für die Aufgabe ist.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Zephyr |
"Ich habe [...] gedacht es bezieht sich auf das Intervall [-3;3] auf der x-Achse, da das Intervall [-3;3] auf der y-Achse kein Dreieck ergeben hätte."
Sehe ich auch so.
[mm] \overline{AB} [/mm] ist parallel zur x-Achse und der Abstand von A und B zur y-Achse ist gleich groß.
"Dann wäre die Lösung für die x-Koordinaten von A und B -3 bzw. 3, da die x-Koordinate nur den Radius beeinflusst und die y-Koordinate nur die Höhe, beide also unabhängig voneinander optimiert werden können. Die Lösung für die y-Koordinaten wäre dann aber $ [mm] -\infty, [/mm] $ und ich glaube mal nicht, dass das eine realistische Lösung für die Aufgabe ist."
Warum eigentlich nicht?
Auf der anderen Seite:
Angenommen: h ist auf 12 LE festgelegt, da A und B tatsächlich auf der x-Achse liegen müssen (warum auch immer).
Wo bleibt dann meine Extremwertaufgabe?
Dann hätte ich mit
$ [mm] V=\bruch{1}{3}\pi r^{2} [/mm] h$
$ [mm] V=4\pi r^{2} [/mm] $ meine Zielfunktion.
...deren erste Ableitung als NST 0 ergibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Zephyr,
...die NST 0 ist allerdings ein Minimum, und du suchst ja ein Maximum. Da wir uns aber in einem abgeschlossenen Inetervall befinden (r [mm] \in [/mm] [0;3] ), musst du noch den Rand des Intervalls betrachten und erhälst als Wert für r=3, also A(-3;0) und B(3;0).
Die Lösung mit [mm] -\infty [/mm] finde ich deshalb etwas komisch, weil sich dann als Wert für das Volumen [mm] \infty [/mm] ergibt und die Einschränkung auf ein Intervall bzgl. des Volumenwerts vollkommen bedeutungslos ist.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Zephyr |
...trotzdem steht das nicht explizit in der Aufgabe.
So oder so bleibt:
Das ist keine Extremwertaufgabe im eigentlichen Sinne. (Und das hat mein gesamtes Bedenken überhaupt erst ausgelöst!)
Ich hab keine Extrembedingung, keine Nebenbedingung, sondern von Anfang an die fertige Zielfunktion.
Bei der ich nur einmal schräg draufschauen muss und sag "Ist doch klar! A (-3|0) und B (3|0) -- wie denn auch sonst!?"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Vreni |
Schön finde ich die Aufgabe auch nicht, da die Aufgabenstellung einfach nicht klar formuliert ist. Wäre das Intervall genauer beschrieben, wäre es zwar eine einfache, aber eindeutige Extremwertaufgabe, die man dann auch formal korrekt und nicht nur durch "schräg draufschauen" lösen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Zephyr |
Schön, schön.
Ich dachte nur ich hätte irgendwas übersehen~
Vielen Dank für deine Hilfe!
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Hallo,
daß diese Aufgabe, so wie von mir verstanden wird, vermutlich von jedem Erstkläßler gelöst werden kann, und deshalb nicht so toll ist, steht außer Frage.
Vielleicht kann man aber doch etwas Wesentliches lernen, ohne durch großartige Rechnerei abgelenkt zu werden.
Wir haben ja [mm] V(r)=1/3\pi [/mm] r^2h= [mm] 4\pir^2 [/mm] (wg. h=12)
Lassen wir mal das Procedere mit erster Ableitung etc. Da erhalten wir, daß bei x=0 ein Minimum vorliegt - was kaum überrascht.
Wenn man jetzt ein wenig schusselig ist, oder einfach seinen Hausfrauenverstand abgeschaltet hat, schließt man: es gibt kein Maximum.
Aber: das Intervall [-3,3], welchem r entstammt, ist ein abgeschlossenens Intervall. Wir wissen: hier nimmt die Funktion Minimum und Maximum an, und untersuchen daher die Randpunkte auch noch. (Das vergißt man nämlich gerne mal, und weil diese "Schwierigkeit" eingebaut ist, toppt diese Aufgabe in gewisser Hinsicht die "normalen" Extremwertaufgaben.)
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:47 Mi 12.09.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
Vrenis Antwort ist völlig richtig, jedenfalls wenn man es so interpretiert, daß die x-Koordinaten von A und B auf der x-Achse liegen.
Gruß v. Angela
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