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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 18.03.2007 | | Autor: | versager |
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] definiert durch:
[mm] f_{t} [/mm] = - 1/2 ( x+1)² ( x-t) mit x [mm] \in \IR [/mm] .
Das Schaubuld von [mm] f_{t} [/mm] heißt [mm] k_{t}.
[/mm]
Wenn t alle zulässigen Werte druchläuft, entsteht eine Kurvenschar.
Die Fläche, die von [mm] k_{2} [/mm] und den Koordinatenachsen im ersten Feld begrenzt wird, soll eine möglichst große viereckige Fläche einschließen. Ein Eckpunkt dieses Vierecks soll der Punkt A ( 0/1 ) sein.
Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche. |
kann mir jemand den ansatz verraten?! wäre sehr freundlcih, ich schreibe nämlich morgen mahte... :)
vielen dank. gruß alex
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Hallo Alexander!
> Für jedes t [mm]\in \IR[/mm] ist eine Funktion [mm]f_{t}[/mm] definiert
> durch:
> [mm]f_{t}[/mm] = - 1/2 ( x+1)² ( x-t) mit x [mm]\in \IR[/mm] .
> Das Schaubuld von [mm]f_{t}[/mm] heißt [mm]k_{t}.[/mm]
>
> Wenn t alle zulässigen Werte druchläuft, entsteht eine
> Kurvenschar.
>
> Die Fläche, die von [mm]k_{2}[/mm] und den Koordinatenachsen im
> ersten Feld begrenzt wird, soll eine möglichst große
> viereckige Fläche einschließen. Ein Eckpunkt dieses
> Vierecks soll der Punkt A ( 0/1 ) sein.
> Bestimmen Sie das Viereck mit der größtmöglichen Fläche.
> kann mir jemand den ansatz verraten?! wäre sehr
> freundlcih, ich schreibe nämlich morgen mahte... :)
Ich hätte hier einen möglichen Ansatz für eine Lösung:
Nun, mit k=2 ergibt sich nun [mm] k_{2}(x)=-\bruch{1}{2}(x+1)^{2}(x-2).
[/mm]
Diese Funktion soll nun mit der x-Achse und mit der y-Achse im 1. Quadranten eine Fläche einschließen, in welcher man ein flächenmaximales Viereck (nicht Rechteck!) platzieren kann. Dabei soll ein Punkt, der Punkt A(0|1) sein.
Vorbemerkung: Die folgende Punktbezeichnung (außer A) ist von mir frei gewählt!
Durch Überlegungen kommt man zum Schluss, daß ein weiterer Punkt des Vierecks der Koordinatenursprung B(0|0) und ein dritter Punkt, der Schnittpunkt von [mm] f_{2}(x) [/mm] mit der x-Achse C(2|0) (vorher berechnen!) ist. Somit muss der letzte Punkt (Punkt Q) des Vierecks genau auf [mm] f_{2}(x) [/mm] liegen.
Da es sich hier um ein allgemeines Viereck handelt ist die Flächenberechnung ein wenig umständlicher. Betrachtet man sich die ganze Sache aber einmal (am besten eine kurze Kurvendiskussion machen und den Graphen im 1.Quadranten skizzieren), so sieht man, daß das Viereck in jedem Fall das Dreieck ABC als Teilfläche besitzt (rechtwinkliges Dreieck --> Fläche berechnen!).
Der restliche Teil des Vierecks besteht aus einem allgemeinen Dreieck ACQ. Von allgemeinen Dreiecken berechnent man Den Flächeninhalt: [mm] A=\bruch{1}{2}g*h_{g} [/mm] (Hälte der Länge der Grundseite mal Höhe auf die Grundseite). Bei unserem allg. Dreieck ist in jedem Fall immer die Grundseite (AC) gleich, sodaß das gesamte Viereck ABCQ dann Flächenmaximal ist, wenn die Höhe des Dreiecks ACQ maximal ist. Dazu stellst du dir am besten eine Gerade [mm] g_{AC} [/mm] durch die Punkte A und C auf und bestimmst dann den Punkt auf [mm] f_{2}(x), [/mm] der von Gerade [mm] g_{AC} [/mm] im 1.Quadranten den größtmöglichen Abstand besitzt (kleiner Hinweis: Es wird sicherlich der Punkt sein, in dem die Tangente an [mm] f_{2}(x) [/mm] den gleichen Anstieg hat wie [mm] g_{AC}). [/mm] Hast du diesen Punkt berechnet, dann musst du nur noch dessen Abstand von [mm] g_{AC} [/mm] bestimmen (=Höhe des allg. Dreiecks) und den Abstand der Punkte A und C (=Länge der Grundseite des allg. Dreieecks) bestimmen um den Flächeninhalt des Dreiecks ACQ zu berechnen.
Soviel zu Theorie, die praktische Ausübung überlass ich dir dann. 
zur kleinen Hilfe, hier der Graph von [mm] f_{2}(x):
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Tommy
PS: Ich setze den Status der Frage mal auf teilweise beantwortet, für den Fall, daß noch jemand anderes eine Idee dazu hat.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Ich hab das Ganze noch mal mit der Skizze von VNV_Tommy vereinfacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche besteht aus den beiden angegebenen Teilflächen. Deren Inhalt hängt vom Punkt P auf dem Graphen ab. Tipp:
Nenne die erste Koordinate des entscheidenden Punktes der Einfachheit halber immer x. Da alles von P abhängt, hängt nun alles von x ab und ist damit berechenbar.
Die Senkrechte Linie hat die Höhe f(x) und damit den Wert [mm] -0,5(x+1)^{2}(x-2).
[/mm]
Damit ist die linke Teilfläche ein Trapez mit der Breite x und der mittleren Höhe (1 + [mm] -0,5(x+1)^{2}(x-2))/2. [/mm] Die rechte Teilfläche ist ein Dreieck der Höhe [mm] -0,5(x+1)^{2}(x-2) [/mm] und der Breite (2-x). Die Summe aus beiden Teilflächen soll minimal werden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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