Extremwert komplexer Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 So 31.01.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion [mm] f(z)=|z-2*\overline{z}-4|^2 [/mm] auf der Menge [mm] S^1=\{z \in \IC| |z|=1\} [/mm] |
Nabend :)
Sitze an der Vorbereitung auf die Klausuren und bin über die obige Aufgabe gestolpert. Ich kann mich an keine Aufgabe erinnern, die ähnlich aussah. Habe hier leider auch nur wenig Ideen.
z Betrag ist 1, also ist [mm] a=\wurzel{1-b^2}
[/mm]
Wie kann ich denn die Funktion jetzt ableiten? Was mache ich mit dem z konjugiert? Wenn ich über z=a+bi gehe, so müsste ich nach 2 Variablen ableiten, oder?
Falls ich dann die Ableitung habe, kann ich dann mit dem Betrag genau wie im reellen rechnen, sprich Fallunterscheidung?
Danke & Schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch mal f(z) mit a und b hin und setz deine richtige Bedingung ein. Dann hast du ne fkt nur von a oder b. und deren max wirst du wohl bestimmen können?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 02.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, habe das nun durchgerechnet und komme auf
a=1, b=0; f(z) = 25. Ist mein Extrempunkt dann (1+0i|25+0i)?
a=-1, b=0; f(z) = 9
Fehlen mir noch ergebnisse? Vom Betrag jedenfalls kommts hin, wenn ich mir die Funktion zeichnen lasse, gibts noch mehr Extrema, aber vermutlich ist dort |z| nicht 1...
Schöne Grüße & danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab keine Lust das auszurechnen. Was hast du denn geplottet um weiter max zu sehen?
Ich korrigier Rechenwege, mach aber nicht die ganze Rechng selbst, also wenn du unsicher bist post deine Rechnung und nicht Ergebnisse.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, habe das nun durchgerechnet und komme auf
>
> a=1, b=0; f(z) = 25. Ist mein Extrempunkt dann
> (1+0i|25+0i)?
> a=-1, b=0; f(z) = 9
Das stimmt nicht.
Setze $z = x+iy$ und berechne f(z)
Ich hab dann raus (ohne Gewähr):
(*) $f(z) = [mm] (x+4)^2+9y^2$ [/mm]
Wegen $|z|=1$ ist auch noch [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
Setze das in (*) ein. Dann ist die Funktion
$g(x) := [mm] (x+4)^2 +9(1-x^2)$
[/mm]
im Intervall [-1,1] auf Extremwerte zu untersuchen
FRED
>
> Fehlen mir noch ergebnisse? Vom Betrag jedenfalls kommts
> hin, wenn ich mir die Funktion zeichnen lasse, gibts noch
> mehr Extrema, aber vermutlich ist dort |z| nicht 1...
>
> Schöne Grüße & danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 03.02.2010 | | Autor: | kappen |
Sorry leduart, sollte mir klar sein.
habe das jetzt nochmal gerechnet, ich weiß nicht was ich da letztens gerechnet habe und auch nicht, was geplottet. Sehr seltsam. [mm] y^2+x^2=1 [/mm] ist natürlich viel angenehmer, als die wurzel und damit dann weiter rechnen..
habe jetzt jedenfalls sowas gemacht:
[mm] |a+bi-2(a+bi)-4|^2=|-a+3bi-4|^2=(a+4)^2+9b^2
[/mm]
=> [mm] (a+4)^2+9(1-a^2) [/mm] = [mm] 8a^2+8a-25 [/mm]
=> ableiten => 16a+8=0
=> a=0.5, [mm] b=+-\wurzel{3/4}
[/mm]
So in der Art? Dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sorry leduart, sollte mir klar sein.
>
> habe das jetzt nochmal gerechnet, ich weiß nicht was ich
> da letztens gerechnet habe und auch nicht, was geplottet.
> Sehr seltsam. [mm]y^2+x^2=1[/mm] ist natürlich viel angenehmer, als
> die wurzel und damit dann weiter rechnen..
Du meinst [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$.
> habe jetzt jedenfalls sowas gemacht:
>
> [mm]|a+bi-2(a+bi)-4|^2=|-a+3bi-4|^2=(a+4)^2+9b^2[/mm]
>
> => [mm](a+4)^2+9(1-a^2)[/mm] = [mm]8a^2+8a-25[/mm]
Das kommt doch schonmal vorne und hinten nicht hin!
Es ist doch $(a + [mm] 4)^2 [/mm] + 9 (1 - [mm] a^2) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 8 a + 16 + 9 - 9 [mm] a^2 [/mm] = -8 [mm] a^2 [/mm] + 8 a + 25$.
> => ableiten => 16a+8=0
Das waer dann $-16 a + 8 = 0$, also $a = 1/2$.
> => a=0.5, [mm]b=+-\wurzel{3/4}[/mm]
Soweit so gut.
Gefragt war aber nach den Extremwerten, nicht nach den Extremstellen.
Weiterhin: was ist mit den Raendern des Definitionsbereiches ($a = -1$, $a = 1$)?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 03.02.2010 | | Autor: | kappen |
Jo stimmt, kam nicht hin.
Extremwert liegt bei 27 für beide Werte.
Wie gucke ich denn bei den Randbereichen? |z|=1 kann doch viel sein, das ist ja irgendwie n Kreis in C. Wie gucke ich denn da nach? a=+-1 reicht doch da nicht, oder? :)
Danke..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch um die Extremwerte der gegebenen fkt für|z|= 1. die hast du zu Extremwert von f(a) umgeformt. da das ne nachunten geöffnete Parabel ist ist klar dass die waagerechte Tangente bei nem max ist. innere Min gibts nicht . Jetz muss ne fkt die nur von [mm] 0\le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1 definiert ist da doch auch irgendwo nen kleinsten Wert annehmen. wo? Dazu betrachtet man die 2 Randpunkte.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mi 03.02.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, wieso nehmen wir das Intervall für a (oder eher |a|?) denn zwischen 0 und 1 an? Nur weil wir jetzt nur noch von a abhängig sind und |a| damit das maximal mögliche ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
|z|=1 gibt doch [mm] a^2 [/mm] höchstens 1
(das hätte man eigentlich beim Aufstellen der fkt. schon hinschreiben müssen.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Do 04.02.2010 | | Autor: | kappen |
Jo das meinte ich ja.
Dann danke für die prompten Antworten, werde mir merken auch die Ränder zu betrachten und alles sauber hinzuschreiben. Danke & Schöne Grüße
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