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Extremwert bestimmen: Aufgabe berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 So 23.01.2011
Autor: Masseltof

Aufgabe
Die Wirkung W eines Medikamentes auf einen Patienten nach t Stunden nach der Einnahme kann durch die Funktion

[mm] W(t)\,=\,c\,t^2\,e^{-t}\,,\quad t\,\geq\,0 [/mm]

beschrieben werden, wobei die Konstante [mm] c\,>\,0 [/mm] von der Anfangsdosis abhängt.

Bestimmen Sie für c=5 die Zeit [mm] t_m, [/mm] zu der die Wirkung maximal ist.

Hallo.

Ich soll die beschriebene Aufgabe berechnen.

Mein Ansatz bisher:

[mm] W(t)=5*t^2+e^{-t}, [/mm] t>0

Da nach dem Maxima gefragt ist, muss die 1.Ableitung 0 sein.

1.W'(t)=0
[mm] W'(t)=10t*e^{-t}-e^{-t}*5t^2 [/mm]
       [mm] =e^{-t}(10t-5t^2)=0 [/mm]

Da [mm] e^{-t} [/mm] nicht 0 werden kann, dafür aber die Klammer gilt es [mm] t_{m} [/mm] aus der Klammer zu berechnen.

Damit habe ich als Nullstellen [mm] t_{1}=0 t_{2}=-2 [/mm]
Da [mm] t\ge0 [/mm] gelten muss kann nur [mm] t_{1} [/mm] als [mm] t_{m} [/mm] berücksichtigt werden.

Für ein Maxima muss ferner gelten W''(t)<0.

Also (W'(t))'=W''(t)
Produktregel und Kettenregel:
[mm] (W'(t))'=(10t*e^{-t}-e^{-t}*5t^2)'= (10t*e^{-t})'-(e^{-t}*5t^2)' [/mm]

[mm] W''(t)=(10t*-e^{-t}+e^{-t}*10)-(-e^{-t}*5t^2+10t*e^{-t}) [/mm]
       [mm] =(e^{-t}*(-10t+10))-(e^{-t}*(-5t^2+10t)) [/mm]
      [mm] =e^{-t}*[(-10t+10)-(-5t^2+10t)] [/mm]
      [mm] =e^{-t}*(5t^2-20t+10) [/mm]

Nur würde hierbei rauskommen, dass W''(0)>0 und das ist kein Maxima.

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Ist denn mein Lösungsansatz von der Denkweise überhaupt richtig?

Viele Grüße und danke im Voraus.

        
Bezug
Extremwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 So 23.01.2011
Autor: MatheStudi7

Hi Masseltof,

wenn $10t - [mm] 5*t^{2} [/mm] = 0$ sind, [mm] $t_{1}=0$ [/mm] (wie du richtig berechnet hast) und [mm] $t_{2}=2$. [/mm]
[mm] $10*2-5*2^{2} [/mm] = 20 - 5*4 = 20 -20 = 0$

Wahrscheinlich ist dieser (kleine) Rechenfehler Schuld an deinem Ergebnis.


Ciao

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