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Hallo liebe Forum-Freunde
bin hier ganz neu, und bitte bei dieser Aufgabe um eure Unterstützung:
An welcher positiven Stelle hat f mit f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] vom Koordinatenursprung den geringsten Abstand? Begründe dein Ergebnis.
Meine Überlegungen:
Also da es sich hier, wie mein Lehrer meinte, um ein Extremwertproblem handelt, habe ich als erstes an eine Ableitung gedacht, wie es eben üblich ist bei Extremwertaufgaben.
Doch andererseitrs weiß ich, dass es sich hierbei um eine Hyperbel handelt. Deshalb muss ich ja, weil ja nur die positive Stelle gefragt ist, den Graphen im ersten Quadranten betrachten. Ich weiß aber leider nicht, ob die "Kurve" der Hyperbel ein Extrempunkt ist.
Würdet ihr mir bitte bei dem Ansatz behilflich sein.
Ich danke euch schon im Voraus für eure Kommentare.
Liebe Grüße
Hasan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> An welcher positiven Stelle hat f mit f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> vom Koordinatenursprung den geringsten Abstand? Begründe
> dein Ergebnis.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schau Dir den Graphen der Funktion f an.
Es geht nun daraum herauszufinden, welcher der Punkte, die auf dem Graphen von f liegen, den geringsten Abstand zum Ursprung hat.
Die Funktion d, die erstmal aufgestellt werden muß und schließlich minimiert, ist also die Funktion, die den Abstand der Punkte auf dem Graphen von f zum Ursprung angibt.
Wie lauten die Koordinaten der Punkte, die auf dem Graphen von f liegen? Sie haben die Koordinaten (x, [mm] \bruch{1}{x}).
[/mm]
Wie weit ist nun dieser Punkt vom Ursprung entfernt? d(x)=...
Um das herauszufinden, würde ich mir erstmal eine Skizze machen. Du kannst ja zum Warmwerden zunächst den Abstand von (5, [mm] \bruch{1}{5}) [/mm] und [mm] (\bruch{1}{10}, \bruch{1}{\bruch{1}{10}} [/mm] zum Ursprung berechnen. (Tip: Pythagoras.)
Anschließend sollte es Dir gelingen, die Abstandfunktion aufzustellen.
Gruß v. Angela
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Liebe Angela,
leider habe ich nicht ganz verstanden wie ich vorgehen soll. Wie kann ich denn die Ausgangsfunktion minimieren?
Ich bedanke mich sehr dafür,dass du mir deine Hilfe angeboten hast.
Liebe Grüße
Hasan
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> leider habe ich nicht ganz verstanden wie ich vorgehen
> soll. Wie kann ich denn die Ausgangsfunktion minimieren?
Hallo,
nein, Du sollst nicht die Funktion f minimieren, sondern eine andere Funktion, deren Gleichung Du erst noch herausfinden mußt.
Du sollst ja den Punkt auf dem Graphen von f suchen, der den geringsten Abstand zum Punkt (0,0) hat. Du sollst nicht das Minimum von f suchen!
Du brauchst eine Funktion, welche Dir sagt, welchen Abstand der Punkt (x, f(x)) vom Ursprung hat.
Weißt Du, wie man den Abstand von Punkten zum Ursprung berechnet? Welchen Abstand hat der Punkt (3,4) zum Ursprung? (Mach Dir eine Skizze.)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
Erstmal sehr sehr vielen dank für deine schnelle Antwort.
Ich habe, wie Sie schon vorher gesagt hatten, mit Hilfe des Satzes Pythagoras den Abstand von U(0/0) und P(3/4) berechnet. Der Abstand beträgt 5 LE.
Leider komme ich immer noch nicht drauf wie ich die Abstandsfunktion bilden soll.
Muss ich dafür eine bestimmte Formel wissen?
Liebe Grüße
Hasan
PS: Vielen dank noch mal für ihre Mühe,mir diese aufgabe zu erklären.
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Hallo Hasan,
> Hallo Angela
>
> Erstmal sehr sehr vielen dank für deine schnelle Antwort.
>
> Ich habe, wie Sie schon vorher gesagt hatten, mit Hilfe des
> Satzes Pythagoras den Abstand von U(0/0) und P(3/4)
> berechnet. Der Abstand beträgt 5 LE. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Leider komme ich immer noch nicht drauf wie ich die
> Abstandsfunktion bilden soll.
Setze mal statt des konkreten Punktes $P=(3/4)$ einen beliebigen Punkt [mm] $Q=(x_1,y_1)$ [/mm] ein.
Wie würdest du dann den Abstand vom Nullpunkt zu Q berechnen?
Wenn du das hast, versuche dasselbe für einen Punkt $R$ auf dem Graphen der Hyperbel zu machen.
Die Punkte auf der Hyperbel haben ja, wie oben schon steht die Koordinaten [mm] $\left(x,\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
Damit solltest du dann eine von x abhängige Funktion bekommen, eben genau die Abstandsfunktion d, die es dann zu minimieren gilt.
> Muss ich dafür eine bestimmte Formel wissen?
Müssen nicht unbedingt, du kannst sie dir - wie Angela schon gesagt hat - mit Pythagoras herleiten.
Aber wie gesagt, rechne mal (und schreibe es hin!), wie du den Abstand vom Ursprung $U=(0/0)$ zu einem beliebigen Punkt [mm] $Q=(x_1,y_1)$ [/mm] berechnen würdest.
Dann fällt es dir bestimmt wie Schuppen aus den Augen 
>
> Liebe Grüße
> Hasan
>
> PS: Vielen dank noch mal für ihre Mühe,mir diese aufgabe zu
> erklären.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 08.09.2008 | | Autor: | plutino99 |
Hallo schachuzipus
Danke für deine Tipps.Werde es versuchen,wenn es nicht klappt werde ich mich mich nochmal melden (frühestens morgen).
Guten Abend noch
Liebe Grüße
Hasan
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Hallo schachuzipus
Nachdem ich deine Tipss durchgelesen habe bin ich zum folgenden Ergebnis gekommen:
A(x;y)= [mm] x^2+y^2
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
A(x)= [mm] x*\bruch{1}{x}
[/mm]
A(x)=1
[mm] A(x)=1-(\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] A'(x)=1-(-\bruch{1}{x^2})
[/mm]
[mm] 0=1-(-\bruch{1}{x^2}) [/mm] / [mm] +x^2
[/mm]
[mm] 1=(\bruch{1}{x^2}) [/mm] / [mm] *x^2
[/mm]
[mm] x^2=1 [/mm] / [mm] \wurzel{}
[/mm]
x= 1
[mm] f(1)=\bruch{1}{1}= [/mm] 1
=y=1
Dann ist also der Punkt mit dem geringsten Abstand zum Ursprung Q(1/1).
Jetzt könnte ich doch ganz einfach mit dme Satz des Pythagoras die Hypotenuse ausrechnen:
[mm] 1^2+1^2=2
[/mm]
also ist der Abstand vom Ursprung [mm] \wurzel{2}
[/mm]
So ahbe ich versucht diese Aufgabe zu lösen,wenn sie nicht korrekt ist bitte ich um Hilfe liebe Forum-Freunde.
Liebe Grüße
Hasan
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Liebe Loddar
Erstmals sehr vielen Dank für deine Hilfe
Wenn ich jetzt $ A(x) \ = \ [mm] x^2+\left(\bruch{1}{x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2+\bruch{1}{x^2} [/mm] $ ableite kriege ich diese Funktion raus
[mm] A'(x)=2x-(\bruch{1}{x^3} [/mm] / + [mm] (\bruch{1}{x^3}
[/mm]
[mm] 0=2x-(\bruch{1}{x^3} [/mm] / + [mm] (\bruch{1}{x^3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^3}=2x [/mm] / [mm] *(x^3)
[/mm]
1= [mm] 2x^4
[/mm]
Und komme ich nicht weiter. Würd mich für eine Korrektur freuen liebe Forum-Freunde.
Liebe Grüße
Hasan
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Lieber Loddar
Erstmals tud es mir leid wegen der Ansprache
Beim lösen der Funktion habe ich nun:
[mm] 1=x^4
[/mm]
also ist dann die Hypotenuse [mm] 1^2+1^2=2
[/mm]
=> [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Denke, dass es nun so stimmen müssste,wenn es aber falsch ist bitte ich dich Lieber Loddar um weitere Tipps.
Vielen Dank nochmal.
Liebe Grüße
Hasan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
> Erstmals tud es mir leid wegen der Ansprache
Kein Ding ...
> Beim lösen der Funktion habe ich nun:
>
> [mm]1=x^4[/mm]
>
> also ist dann die Hypotenuse [mm]1^2+1^2=2[/mm]
> => [mm]\wurzel{2}[/mm]
Das stimmt soweit!
Aber ist denn nun $x \ = \ 1$ auch wirklich ein Minimum?
Dafür müsstest Du diesen Wert in die 2. Ableitung einsetzen und zeigen, dass gilt: $A''(1) \ > \ 0$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:32 Di 09.09.2008 | | Autor: | plutino99 |
Lieber Loddar
Habe A''(1) gerechnet und da kommt (-4) raus.Also ist 1 der minimale x-Wert oder??????
Liebe Grüße
Hasan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das stimmt nicht ... Wie lautet denn Dein $A''(x)_$ ?
Gruß
Loddar
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hallo
meine [mm] A''(x)=2-(\bruch{6}{x^4})
[/mm]
achja stimmt die müsste
[mm] A''(x)=2+(\bruch{6}{x^4}) [/mm] lauten, dann würde bei A''(1)= 8 rauskommen oder???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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und jetzt könnte ich doch den geringsten positiven Abstand vom Ursprung von der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x}:
[/mm]
x=1
y=1
und jetzt die Geschichte mit dem Satz des Pythagoras oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
Wenn Du diesen geringsten Abstand noch berechnen möchtest: Ja!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 09.09.2008 | | Autor: | plutino99 |
Loddar sehr vielen Dank noch mal für deine (Ihre) Hilfe und Tipps.
Ich wünsche dir (Ihnen) noch einen guten Abend.
Liebe Grüße
Hasan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 09.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
Keine Ursache, dafür sind wir hier im Forum da ...
Und: Du darfst hier im Forum zu Jedem "Du" sagen / schreiben!
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du darauf?
