Extremwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Skyler |
| Aufgabe | | [mm] f_\beta (x,y) = x^3 - y^3 +3\beta xy [/mm] |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe im [mm] R^2 [/mm] soll ich die Extremwerte lok Max oder lok Min bestimmen:
ich habe folgendermaßen begonnen:
[mm]f'_\beta x = 3x^2 +3 \beta y [/mm]
[mm]f'_\beta y = -3y^2 + 3 \beta x [/mm]
[mm]
\nabla f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
3x^2 + 3\beta y ,\\
-3y^2 + 3\beta x,\end{matrix}\right [/mm]
[mm] Notwendige Bedingung:[/mm]
grad [mm] f(x) = \vec 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow {3^2 + 3\beta y \choose -3y^2 + 3\beta x} [/mm]
[mm] 3x^2 +3\beta y = 0 [/mm] und [mm] 3y^2 = 3\beta x[/mm]
[mm] y= -\bruch{x^2}{\beta} [/mm] und [mm] x=\bruch{y^2}{\beta} ; \beta \not= 0[/mm]
[mm] \Rightarrow y = \bruch{-\bruch{y^4}{\beta ^2}}{\beta} \gdw y = -\beta[/mm]
Nun würde die hinreichende Bedingung komme aber hier komme ich nicht mehr weiter, ich habe in einem beispiel gesehen, dass man das irgendwie mit [mm] Hess f[\vec x)[/mm] macht, aber damit kann ich leider nichts anfangen, ich würde mich freuen wenn ihr mir da weiterhelfen könnntet?
viele grüße skyler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 02.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Skyler!
> [mm]y= -\bruch{x^2}{\beta}[/mm] und [mm]x=\bruch{y^2}{\beta} ; \beta \not= 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y = \bruch{-\bruch{y^4}{\beta ^2}}{\beta} \gdw y = -\beta[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du unterschlägst hier noch die Lösung $y \ = \ 0$ .
Zudem solltest Du noch den Sonderfall [mm] $\beta [/mm] \ = \ 0$ untersuchen.
Gruß
Loddar
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> Nun würde die hinreichende Bedingung komme aber hier komme
> ich nicht mehr weiter, ich habe in einem beispiel gesehen,
> dass man das irgendwie mit [mm]Hess f[\vec x)[/mm] macht, aber damit
> kann ich leider nichts anfangen, ich würde mich freuen wenn
> ihr mir da weiterhelfen könnntet?
Hallo,
wenn du dann die nullstellen des Gradienten komplettund übersichtlich vorliegen hast,
leite Deine partiellen Ableitungen jeweils nach x und y partielle ab, so daß Du insgesamt 4 "zweite Ableitungen" dastehen hast.
Diese bilden die Einträge der Hessematrix, welche Du anschließend schonmal aufstellen kannst.
Vielleicht kannst Du dann schonmal zusammenstellen, was Du über die Hessematrix im Zusammenhangmit Extremwerten weißt.
Damit wäre das Material zusammengestellt, und man könntebesprechen, wie es weitergeht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Di 02.12.2008 | | Autor: | Skyler |
ok ich werde es später einmal versuchen aber was ich vergessen hab dazu zu schreiben!
[mm] \beta \in R [/mm] also fällt der fall [mm] \beta [/mm] = 0 weg
gruß Skyler
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>was ich
> vergessen hab dazu zu schreiben!
>
> [mm]\beta \in R[/mm] also fällt der fall [mm]\beta[/mm] = 0 weg
???
0 ist eine reelle Zahl.
Gruß v. Angela
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