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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 24.09.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | | Einem Halbkreis (r=6cm)ist ein Rechteck so einzuzeichnen, dass eine Rechteckseite auf dem Durchmesser des Halbkeises liegt. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit ein durch Zusammnrollen des Rechtecks entstehender senkrechter Zylinder maximales Volumen hat? |
Grüß euch,
habe mal wieder ein Problem, und zwar mit dem Berechnen des Zylindervolumens.
HB: Zylinder: [mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
Habe mir eine Skizze angefertigt - Rechteck in Halbkreis
r=6 cm
l=h=2x
[mm] b=y=\wurzel{36-x^2}
[/mm]
A (Rechteck): [mm] 2x\wurzel{36-x^2}
[/mm]
[mm] \overline{A}: x^2(36-x^2)
[/mm]
[mm] \overline{A}: 36x^2-4x^4
[/mm]
[mm] A':72x-4x^3=0 [/mm]
[mm] x(18-x^2)=0
[/mm]
[mm] x=\wurzel{18}
[/mm]
So, bis hier glaub ich passt es noch so halbwegs, aber jetzt:
[mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
[mm] V=\pi*r^2*2\wurzel{18}
[/mm]
[mm] \overline{V}: r^2*\wurzel{18}
[/mm]
[mm] \overline{V}': [/mm] : [mm] 2r*-\bruch{1}{2*\wurzel{18}}=0
[/mm]
[mm] \overline{V}': [/mm] : [mm] -\bruch{r}{\wurzel{18}}=0
[/mm]
[mm] \overline{V}': [/mm] r=0 ?????????
Das schaut gar nicht gut aus, könnte mir hier jemand aus der Patsche helfen?
Gruß, mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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> Einem Halbkreis (r=6cm)ist ein Rechteck so einzuzeichnen,
> dass eine Rechteckseite auf dem Durchmesser des Halbkeises
> liegt. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen,
> damit ein durch Zusammnrollen des Rechtecks entstehender
> senkrechter Zylinder maximales Volumen hat?
> Grüß euch,
> habe mal wieder ein Problem, und zwar mit dem Berechnen
> des Zylindervolumens.
>
> HB: Zylinder: [mm]V=\pi*r^2*h[/mm]
>
> Habe mir eine Skizze angefertigt - Rechteck in Halbkreis
> r=6 cm
> l=h=2x
> [mm]b=y=\wurzel{36-x^2}[/mm]
>
> A (Rechteck): [mm]2x\wurzel{36-x^2}[/mm]
> [mm]\overline{A}: x^2(36-x^2)[/mm]
> [mm]\overline{A}: 36x^2-4x^4[/mm]
Hallo!
Ich glaube, du berechnest das Falsche. Du willst ja nicht berechnen, für welche Wahl von Länge und Breite das Rechteck maximal wird, sondern der Zylinder, der daraus gebastelt werden kann.
Wenn die Fläche des Rechtecks maximal wird (was du bis jetzt berechnet hast) muss nicht notwendigerweise auch das Volumen des Zylinders maximal werden. Du musst direkt eine Formel V = ... für das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von den beiden Rechtecksseiten aufstellen und mit dieser weiterarbeiten.
Ein Ansatz:
Wenn ich bei dem Rechteck die Seite, die auf dem Durchmesser liegt, mit a bezeichne und die andere mit b, dann entspricht schonmal a dem Umfang des Zylinders und b der Höhe. Um auf die Grundfläche des Zylinders zu kommen, müssen wir mit a, dem Umfang, einiges anstellen:
[mm]a = u = 2*\pi*r[/mm]
[mm]\gdw \bruch{a}{2*\pi} = r[/mm]
[mm]\gdw A = \pi*r^{2} = \pi*\left(\bruch{a}{2*\pi}\right)^{2}[/mm]
Etwas umständlich umgeformt, aber erfüllt eher den Anschauungszweck 
Nun kennst du die Grundfläche A des Zylinders und die Höhe h = b des Zylinders. Das Volumen ist dann... Natürlich musst du nun noch die Rechtecksseiten a und b durch x ersetzen, was du richtig gemacht hattest.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 24.09.2008 | | Autor: | mitex |
Hallo,
habe meinen Grundfehler einmal verstanden.
> [mm]\gdw A = \pi*r^{2} = \pi*\left(\bruch{a}{2*\pi}\right)^{2}[/mm]
>
wenn ich hier weitermache, dann muss ich a mit 2x [mm] (x=\wurzel{36-y^2}) [/mm] ersetzen.
A = [mm] \pi*r^{2} [/mm] = [mm] \pi*\left(2\bruch{\wurzel{36-y^2})
}{2*\pi}\right)^{2}
[/mm]
[mm] \overline{A}'=36-y^2=0
[/mm]
[mm] \overline{A}'= [/mm] y=6
[mm] \to [/mm] das wäre hier ja sozusagen r der Ober- oder Grundfläche des Zylinders, oder liege ich gerade komplett falsch.
Wenn das so wäre, dann ginge es so weiter:
[mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
r=6
[mm] h=b=y=\wurzel{36-x^2}) [/mm]
Das Ergebnis wäre dann wieder 6, was mir äußerst suspekt erscheint.
Gruß,
mitex
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> Hallo,
>
> habe meinen Grundfehler einmal verstanden.
noch nicht ganz , wie ich sehe.
Dein Volumen muss maximal werden! Das Volumen ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe.
Grundfläche ist wie gesagt A = [mm] \pi*\left(\bruch{a}{2*\pi}\right)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{4*\pi}.
[/mm]
Höhe ist h = b.
D.h.
V = A*b = [mm] \bruch{a^{2}*b}{4*\pi}
[/mm]
DIESE Funktion muss maximal werden! Nicht die Grundfläche des Zylinders allein, wie dein Ansatz jetzt war. Denn die Grundfläche wird maximal, wenn b = 0, was aber fürs Volumen absurd ist. Du musst den gesamten Zusammenhang betrachten.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 24.09.2008 | | Autor: | mitex |
Hi,
bin kurz vorm aufgeben, komme wohl auf kein Eregbnis.
> Grundfläche ist wie gesagt A =
> [mm]\pi*\left(\bruch{a}{2*\pi}\right)^{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{a^{2}}{4*\pi}.[/mm]
>
> Höhe ist h = b.
>
> D.h.
>
> V = A*b = [mm]\bruch{a^{2}*b}{4*\pi}[/mm]
>
> DIESE Funktion muss maximal werden! Nicht die Grundfläche
> des Zylinders allein, wie dein Ansatz jetzt war. Denn die
> Grundfläche wird maximal, wenn b = 0, was aber fürs Volumen
> absurd ist. Du musst den gesamten Zusammenhang betrachten.
>
> Stefan.
Jetzt ist das ja wohl die endgültige Funktion.
Wäre dann umgemodelt meine Funktion
V= [mm]\bruch{2x^2*\wurzel{36-x^2}}{4*\pi}[/mm] ?
Hm, das Ganze bringt mich jetzt zur Verzweiflung.
Gruß, mitex
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> Hi,
> bin kurz vorm aufgeben, komme wohl auf kein Eregbnis.
>
>
> > Grundfläche ist wie gesagt A =
> > [mm]\pi*\left(\bruch{a}{2*\pi}\right)^{2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{a^{2}}{4*\pi}.[/mm]
> >
> > Höhe ist h = b.
> >
> > D.h.
> >
> > V = A*b = [mm]\bruch{a^{2}*b}{4*\pi}[/mm]
> >
> > DIESE Funktion muss maximal werden! Nicht die Grundfläche
> > des Zylinders allein, wie dein Ansatz jetzt war. Denn die
> > Grundfläche wird maximal, wenn b = 0, was aber fürs Volumen
> > absurd ist. Du musst den gesamten Zusammenhang betrachten.
> >
> > Stefan.
>
>
> Jetzt ist das ja wohl die endgültige Funktion.
>
> Wäre dann umgemodelt meine Funktion
>
> V= [mm]\bruch{2x^2*\wurzel{36-x^2}}{4*\pi}[/mm] ?
>
Hallo!
Fast
Du musst ja [mm] a^{2} [/mm] = [mm] (2x)^{2} [/mm] = [mm] 4x^{2} [/mm] schreiben, somit ist die endgültige Funktion
[mm]V(x)= \bruch{4x^2*\wurzel{36-x^2}}{4*\pi} = \bruch{x^2*\wurzel{36-x^2}}{\pi}[/mm]
Ich hoffe, dir ist klar, warum du nicht einfach erst die maximale Fläche des Rechtecks, oder die maximale Grundfläche etc. berechnen kannst. Diese Ansätze erfüllen die Aufgabenstellung nicht. Du sollst das maximale Volumen in Abhängigkeit von a und b herausfinden (d.h. von x...). Dazu musst du natürlich auch die Funktion, welche das Volumen angibt, auf Extremstellen untersuchen und nicht irgendwelche Teilergebnisse wie eben die Grundfläche des Zylinders.
Nun hast dus ja fast geschafft
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 26.09.2008 | | Autor: | mitex |
Hallo Stefan,
muss mich erst einmal entschuldigen, dass ich mich erst jetzt bei dir bedanke, dass du so viel Geduld gezeigt hast(irgendwie wird mir nebenbei die Zeit immer zu kurz). Habe inzwischen das Ergebnis:
Erspare mir jetzt die Ableitungen:
[mm] a=x=\wurzel{24}
[/mm]
[mm] b=y=\wurzel{12}
[/mm]
[mm] V=\bruch{2(\wurzel{24})^2*\wurzel{12}}{4\pi}
[/mm]
[mm] V=48\bruch{\wurzel{3}}{\pi}
[/mm]
Also noch einmal herzlichen Dank (habe bereits das nächste Beispiel wo ich nicht wirklich durchblicke, muss mich aber vorerst damit noch etwas "spielen").
Gruß
Sieglinde
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