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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremum mit Nebenbedingung
Extremum mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extremum mit Nebenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Fr 23.12.2011
Autor: MaxiN

Aufgabe
f(x,y)=ln(x*sin(y)+1)

a) Skizzieren Sie die Schnitte der Funktionen mit den 3 Ebenen y=-pi/2,0,pi(2
b) Skizziern Sie den Schnitt der Funktion mit der Ebene x=1
c) Führen Sie die Nebenbedingung x²=y² ein und bestimmen Sie ein Extremum nach der Methode von Lagrange

Hallo,

Aufgabe a) und b) sind keinerlei Problem. Nur bei der Aufgabe c) habe ich mein Probleme.

Was ich mir bisher überlegt habe:

f(x,y)=ln(x*sin(y)+1) Die Nebenbedingung ist g(x,y)=y²-x²

Funktion zusammen mit Lagrange Multiplikator

G(x,y,lambda)=ln(x*sin(y)+1)+lambda y² - lambda x²

Jetzt nach jeder Variablen differenziert:

dG/dx=(sin(y))/(x*sin(y)+1) - 2 lambda x = 0

dG/dy=(x*cos(y)/(x*sin(y)+1) + 2 lambda y = 0

dG/dlambda=y²-x²                                   = 0

=> y²=x² => y=x

Jetzt zur Schwierigkeit, wie kann ich die oberen Beziehungen nach x auflösen. Damit ich schließlich das Extremum bestimmen kann. Oder stimmt der ganze Ansatz nicht? Vielen Dank im Voraus

Gruß

Maxi


        
Bezug
Extremum mit Nebenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Fr 23.12.2011
Autor: MathePower

Hallo MaxiN,

> f(x,y)=ln(x*sin(y)+1)
>  
> a) Skizzieren Sie die Schnitte der Funktionen mit den 3
> Ebenen y=-pi/2,0,pi(2
>  b) Skizziern Sie den Schnitt der Funktion mit der Ebene
> x=1
>  c) Führen Sie die Nebenbedingung x²=y² ein und
> bestimmen Sie ein Extremum nach der Methode von Lagrange
>  Hallo,
>  
> Aufgabe a) und b) sind keinerlei Problem. Nur bei der
> Aufgabe c) habe ich mein Probleme.
>  
> Was ich mir bisher überlegt habe:
>  
> f(x,y)=ln(x*sin(y)+1) Die Nebenbedingung ist
> g(x,y)=y²-x²
>  
> Funktion zusammen mit Lagrange Multiplikator
>  
> G(x,y,lambda)=ln(x*sin(y)+1)+lambda y² - lambda x²
>  
> Jetzt nach jeder Variablen differenziert:
>  
> dG/dx=(sin(y))/(x*sin(y)+1) - 2 lambda x = 0
>  
> dG/dy=(x*cos(y)/(x*sin(y)+1) + 2 lambda y = 0
>  
> dG/dlambda=y²-x²                                   = 0
>
> => y²=x² => y=x
>
> Jetzt zur Schwierigkeit, wie kann ich die oberen
> Beziehungen nach x auflösen. Damit ich schließlich das
> Extremum bestimmen kann. Oder stimmt der ganze Ansatz
> nicht? Vielen Dank im Voraus
>  

Der Ansatz stimmt schon.

Löse die ersten beiden Gleichungen nach [mm]\lambda[/mm] auf,
und setze diese dann gleich. Löse dann dies nach x auf.

Das Ergebnis setzt Du dann in die 3. Gleichung ein.


> Gruß
>
> Maxi

>


Gruss
MathePower  

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