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Hallo
Hab hier folgendes
[mm] f(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2} x^{2}+y^{2}<1
[/mm]
In meine Mathebuch wird das mit Multiplikatorregel gelöst
L(x,y, [mm] \lambda)=3x^{2}-2xy+y^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-1)
[/mm]
[mm] L_{x}=6x-2y +2\lambdax=0
[/mm]
[mm] L_{y}=-2x +2y+2\lambday=0
[/mm]
[mm] L_{\lambda}=6x-2y +2\lambdax=0
[/mm]
Jetzt stehen nur mehr die Eigenwerte hier und mein Problem dabei ist wie sieht die Matrix aus von der ich die Eigenwerte berechnen soll hab auch probiert das irgendwie umzuformen aber ich komm dabei nicht weiter
[mm] \pmat{ 2*(3+\lambda) & -2 \\ -2 & 2*(1+\lambda )}????????
[/mm]
Danke
lg Stevo
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Hallo Stevo,
weil die Aufgabe überfällig ist, ein paar Gedanken dazu:
> Hab hier folgendes
> [mm]f(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2} x^{2}+y^{2}<1[/mm]
Was soll das heißen? Wenn Du eine Antwort willst, musst Du Dir mal den Text angucken, wie er dargestellt wird!
[mm]f(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2}[/mm]= max! mit Nebenbedingung [mm]g(x,y) = x^{2}+y^{2}<1[/mm]
> In meine Mathebuch wird das mit Multiplikatorregel gelöst
> [mm]L(x,y,\lambda)=3x^{2}-2xy+y^{2}-\lambda(x^{2}+y^{2}-1)[/mm]
Normalerweise wird der Multiplikator negativ genommen (siehe unten):
Der Gradient von f muss senkrecht auf der "Höhenlinie" g(x,y)=1 sein, sonst gäbe es eine weitere Aufstiegsrichtung parallel zur Höhenlinie, also [mm] \nabla(f-\lambda [/mm] g)(x,y) = [mm] \vec{0}:
[/mm]
[mm]L(x,y,\lambda)=3x^{2}-2xy+y^{2}-\lambda(x^{2}+y^{2}-1)[/mm]
> [mm]L_{x}=6x-2y -2\lambda x=0[/mm]
> [mm]L_{y}=-2x +2y-2\lambda y=0[/mm]
außerdem hast Du x²+y²=1, also 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten...
Wenn Du das Problem mit Eigenwerten lösen sollst, musst Du Dir klarmachen, dass [mm]f(x,y) = (x,y) \pmat{ 3 & -2 \\ 0 & 1 } \vektor{x \\ y}[/mm] ist, also [mm]\nabla f(x,y) = (\pmat{ 3 & -2 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 3 & -2 \\ 0 & 1 }^{t})\vektor{x \\ y} =: A\vektor{x \\ y}[/mm] und [mm]\nabla g(x) = 2\vektor{x \\ y}[/mm] und damit wird die obige Bedingung mit [mm]A = [mm] \pmat{ 6 & -2 \\ -2 & 2 }
[/mm]
[mm]\nabla(f-\lambda g)(x,y) = (A\vektor{x \\ y} - 2\lambda \vektor{x \\ y}) = \vec{0}[/mm]
also ein klassisches Eigenwertproblem.
Das geht aber nur in diesem simplen Fall,
Gruß, Richard
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