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Ich sollte einen Extremwert zu einer Funktion mit 2 Variablen berechnen und habe mich versucht ein wenig darüber zu informieren. Scheinbar gibt es 2 Möglichkeiten dieses zu tun:
- Zum einen über die Determinante und der Definitheit der Hesse-Matrix
- Und zum anderen über die Eigenwerte der Hesse-Matrix
Kann mir das mal bitte jemand für beide Fälle erklären?
Wir hatten die Funktion:
f(x,y) = [mm] x^{3}y^{2}(1-x-y)
[/mm]
Dann habe ich den Gradienten ausgerechnet und Null gesetzt
und als kritischen Punkt erhalten: ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3} [/mm] )
(Die anderen krit. Pkt. lassen wir mal außen vor)
Nun habe ich die Hesse-Matrix berechnet und den Punkt eingesetzt:
Hesse(f)( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ) = [mm] \pmat{ \bruch{-1}{9} & \bruch{-1}{12} \\ \bruch{-1}{12} & \bruch{-1}{8} }
[/mm]
Und jetzt kommt ihr. Wie muss ich vorgehen, wenn ich das über die Determinante mache und wie muss ich vorgehen, wenn ich das über die Eigenwerte mache? Und wie berechne ich die Eigenwerte überhaupt möglichst schnell?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Auron2009,
> Ich sollte einen Extremwert zu einer Funktion mit 2
> Variablen berechnen und habe mich versucht ein wenig
> darüber zu informieren. Scheinbar gibt es 2 Möglichkeiten
> dieses zu tun:
> - Zum einen über die Determinante und der Definitheit der
> Hesse-Matrix
> - Und zum anderen über die Eigenwerte der Hesse-Matrix
>
> Kann mir das mal bitte jemand für beide Fälle erklären?
>
> Wir hatten die Funktion:
> f(x,y) = [mm]x^{3}y^{2}(1-x-y)[/mm]
>
> Dann habe ich den Gradienten ausgerechnet und Null gesetzt
> und als kritischen Punkt erhalten: ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ,
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] )
> (Die anderen krit. Pkt. lassen wir mal außen vor)
>
> Nun habe ich die Hesse-Matrix berechnet und den Punkt
> eingesetzt:
> Hesse(f)( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ) = [mm]\pmat{ \bruch{-1}{9} & \bruch{-1}{12} \\ \bruch{-1}{12} & \bruch{-1}{8} }[/mm]
Hesse[mm]\left(f\right)\left(\bruch{1}{2} , \bruch{1}{3}\right) = \pmat{ \bruch{-1}{9} & \bruch{-1}{12} \\ \bruch{-1}{12} & \bruch{-1}{8} }=\left\pmat{\bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right)}{\partial x^{2}} & \bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right)}{\partial x \ \partial y} \\ \bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right)}{\partial x \ \partial y} & \bruch{\partial^{2} f\left(x,y\right)}{\partial y^{2}} }\right|_{\left(\bruch{1}{2}, \ \bruch{1}{3}\right)}=\left\pmat{f_{xx}\left(x,y\right) & f_{xy}\left(x,y\right) \\ f_{xy}\left(x,y\right) & f_{yy}\left(x,y\right) }\right|_{\left(\bruch{1}{2}, \ \bruch{1}{3}\right)}[/mm]
>
> Und jetzt kommt ihr. Wie muss ich vorgehen, wenn ich das
> über die Determinante mache und wie muss ich vorgehen, wenn
> ich das über die Eigenwerte mache? Und wie berechne ich die
> Eigenwerte überhaupt möglichst schnell?
In dem Fall von 2 abhängigen Variablen ist die Definitheit äquivalent zu
[mm]\left(f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right) > 0[/mm]
Gilt [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) > 0, f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right) > 0[/mm] so hat die Funktion f in [mm]\left(x_{0},y_{0}[/mm] ein lokales Minimum.
Gilt [mm]f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right) < 0, f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right) < 0[/mm] so hat die Funktion f in [mm]\left(x_{0},y_{0}[/mm] ein lokales Maximum.
Ist hingegen [mm]\left(f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right) < 0[/mm] ist der betreffende Punkt ein Sattel- oder Jochpunkt.
Für [mm]\left(f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right) = 0[/mm] kann nicht entschieden werden ob ein Extrema vorhanden ist oder nicht.
Die Eigenwerte wirst Du wohl oder übel mit Hilfe des charakteristischen Polynoms berechnen müssen.
Hier müssen dann beide Eigenwerte größer als Null sein, damit die Hesse-Matrix positiv definit ist.
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> Danke für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
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Zunächst einmal danke für die schnelle Antwort.
Zwei kleine Fragen bleiben noch:
- Du hast meine Darstellung der Hesse-Matrix zum kritischen Punkt durch weitere Darstellungen erweitert. Das sollte nur dazu dienen, dass ich die späteren Formeln einordnen kann, oder?
- Du schreibst "im Falle von 2 abhängigen Variablen". Soll das heißen, dass es bei mehr Variablen grundsätzlich nicht geht, oder wolltest du nur darauf hinaus, dass ich dann die Determinante anders ausrechnen muss? Die linke Seite deiner ersten Ungleichung sollte ja die Determinante für 2x2 Matrizen sein.
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Hallo Auron2009,
> Zunächst einmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Zwei kleine Fragen bleiben noch:
>
> - Du hast meine Darstellung der Hesse-Matrix zum kritischen
> Punkt durch weitere Darstellungen erweitert. Das sollte nur
> dazu dienen, dass ich die späteren Formeln einordnen kann,
> oder?
Richtig.
>
> - Du schreibst "im Falle von 2 abhängigen Variablen". Soll
> das heißen, dass es bei mehr Variablen grundsätzlich nicht
> geht, oder wolltest du nur darauf hinaus, dass ich dann die
> Determinante anders ausrechnen muss? Die linke Seite deiner
> ersten Ungleichung sollte ja die Determinante für 2x2
> Matrizen sein.
Im Falle von mehr als 2 abhängigen Variablen geht das ausschliesslich über die ![[]](/images/popup.gif) Definitheit der Hesse-Matrix.
Gruß
MathePower
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Also mühselig die Eigenwerte ausrechnen und schauen, ob alle < bzw > 0 sind, oder?
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Hallo Auron2009,
> Also mühselig die Eigenwerte ausrechnen und schauen, ob
> alle < bzw > 0 sind, oder?
So isses.
Gruß
MathePower
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