Extremstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 20.03.2012 | | Autor: | luna19 |
hallo :)
Die Extremstellen kann man berechnen,indem man die 1.Ableitung mit 0 gleichsetzt.
Um aber herauszufinden,ob diese berechneten Punkte ein Hochtief/Punkt sind,muss man entweder den Vorzeichenwechsel anwenden,oder die 2.Ableitung bilden und die Werte einsetzen.
Wenn ein negativer Wert herauskommt,dann ist der Punkt ein Hochpunkt,wenn ein positiver Wert herauskommt,ein Tiefpunkt.
Wenn aber bei der f''(x) 0 herauskommt,dann muss der Vorzeichenwechsel angewendet werden.Was ich nicht verstehe,ist,warum
der Vorzeichenwechsel ein Ergebnis liefert und die 2.Ableitungsfunktion nicht.
Danke =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir [mm] x^4 [/mm] an, [mm] f'=4x^3 [/mm] also bei x=0 eine waagerechte Tangente.
aber [mm] f''=12x^2 [/mm] ist 0 für x=0 jetzt weisst du nichts!
jetzt gibt es 2 Möglichkeiten f'(x) wechselt das Vorzeichen bei x=0, das ist hier der Fall und zwar geht es von neg nach pos. d.h vor x=0 ist die steigung negativ, danach positiv, also hat man ein min.
jetzt mach dassebe mit [mm] x^5
[/mm]
wieder die 1. und 2. ableitung 0 aber die erste ist immer positiv, d.h. die kurve steigt links und rechts von 0 kein max und kein min sondern ein "Sattelpunkt"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 21.03.2012 | | Autor: | luna19 |
Ich verstehe nicht ganz,warum der Vorzeichenwechsel funktioniert.
Denn wenn beide Ableitungsfunktionen 0 sind,liegt ein Sattelpunkt vor,aber wenn der Vorzeichenwechsel ein Hoch/Tiefpunkt anzeigt,stimmt das mit dem
Sattelpunkt nicht .
Danke :)
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Hallo,
leider verhält es sich so, dass man das in der Schulfe teilweise falsch, weil stark vereinfacht, lernt. Die notwendige Bedingung für einen (inneren*) Extrempunkt heißt klipp und klar:
[mm] f'(x_0)=0
[/mm]
Sie muss notwendigerweise erfüllt sein, damit es überhaupt ein Extrempunkt an dieser Stelle geben kann.
Die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung ist eine von vielen möglichen hinreichenden Bedingungen. Greift sie nicht, so kann man die 4., die 6. die 8. Ableitung usw. untersuchen. Ist irgendeine dieser Ableitungen an der Stelle [mm] x_0 [/mm] positiv oder negativ, dann liegt eine hinreichende Bedinmgung für einen Tief- bzw. einen Hochpunkt vor.
Anders verhält es sich mit dem Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung. Da die erste Ableitung die Steigung beschreibt, welche notwendigerweise in der Umgebung um einen Extrempunkt ihr Vorzeichen wechseln muss, ist der Nachgweis eines solchen Vorzeichenwechsels stets eine hinreichende Bedingung.
Wenn man mal abwägt könnte man sagen: für die Methode per zweiter oder irgendeiner geradzahligen Ableitung spricht, dass man das automatisch herunterrechnen kann, aber es gibt Funktionen, bei denen man eine Weile lang ableiten muss (auch wenn diese in der Schulmathematik) sicherlich nicht vorkommen werden. Für die Methode mit dem Vorzeichenwechsel spricht, dass sie immer direkt mit der 1. Ableitung funktioniert. Dagegen spricht oftmals, dass es nicht ganz einfach sein kann, einen solchen Vorzeiochenwechsel nachzuweisen, jedoch darf man heutzutage in der Schule (leider) oft einfach Werte einsetzen, die nahe dem vermuteten Extremum liegen, obwohl diese Vorgehensweise streng mathematisch gesehen falsch ist.
Der Pragmatismus ist halt allerorten auf dem Vormarsch...
*Innere Extrema sind solche mit waagerechter Tangente.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 21.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Diophant,
> Für die Methode mit dem
> Vorzeichenwechsel spricht, dass sie immer direkt mit der 1.
> Ableitung funktioniert. Dagegen spricht oftmals, dass es
> nicht ganz einfach sein kann, einen solchen
> Vorzeiochenwechsel nachzuweisen, jedoch darf man heutzutage
> in der Schule (leider) oft einfach Werte einsetzen, die
> nahe dem vermuteten Extremum liegen, obwohl diese
> Vorgehensweise streng mathematisch gesehen falsch ist.
Sie wird wohl häufig falsch eingesetzt, ist aber für gängige Schulbeispiele nicht unrettbar falsch, wie ich hier am dortigen Beispiel vor kurzem dargestellt habe.
Ebenso ist deine Aussage, dass die "Vorzeichenwechsel-Methode" immer funktioniere, streng mathematisch gesehen aus meiner Sicht falsch, wie das Beispiel
[mm] $f(x)=\begin{cases} x^4\sin^2(\bruch1x), & \mbox{für } x\in\IR\setminus\{0\} \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
zeigt: Diese Funktion ist stetig differenzierbar, sie hat ein striktes Minimum an der Stelle x=0, aber ihre Ableitung hat an der Stelle x=0 keinen Vorzeichenwechsel (sondern in jeder Umgebung von x=0 weitere Nullstellen).
Dagegen müsste folgender Zusammenhang stimmen, der deine Aussage für gängige Schulbeispiele wieder rettet:
Sei [mm] U\subset\IR [/mm] offen, [mm] f\colon U\to\IR [/mm] stetig differenzierbar, [mm] x\in [/mm] U.
f habe in x ein Extremum, f' in x eine ISOLIERTE Nullstelle.
Dann hat f' einen Vorzeichenwechsel an der Stelle x.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Do 22.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tobias,
> > Für die Methode mit dem
> > Vorzeichenwechsel spricht, dass sie immer direkt mit der 1.
> > Ableitung funktioniert. Dagegen spricht oftmals, dass es
> > nicht ganz einfach sein kann, einen solchen
> > Vorzeiochenwechsel nachzuweisen, jedoch darf man heutzutage
> > in der Schule (leider) oft einfach Werte einsetzen, die
> > nahe dem vermuteten Extremum liegen, obwohl diese
> > Vorgehensweise streng mathematisch gesehen falsch ist.
> Sie wird wohl häufig falsch eingesetzt, ist aber für
> gängige Schulbeispiele nicht unrettbar falsch, wie ich
> hier am dortigen
> Beispiel vor kurzem dargestellt habe.
Das Problem an dieser Vorgehensweise ist, dass in der Schule oftmals die Nullstellen mit dem GTR bestimmt werden (man sehe sich einfach nur einmal aktuelle Schulbücher für Stufe 10 daraufhin an, inwieweit noch auf Lösbarkeit von Gleichungen mit den zur Verfügung stehenden Mitteln geachtet wird). Also wenn man so argumentieren würde, wie du es in dem verlinkten Thread tust, dann wäre es korrekt, aber das ist eine Utopie...
> Ebenso ist deine Aussage, dass die
> "Vorzeichenwechsel-Methode" immer funktioniere, streng
> mathematisch gesehen aus meiner Sicht falsch, wie das
> Beispiel
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^4\sin^2(\bruch1x), & \mbox{für } x\in\IR\setminus\{0\} \\
0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> zeigt: Diese Funktion ist stetig differenzierbar, sie hat
> ein striktes Minimum an der Stelle x=0, aber ihre Ableitung
> hat an der Stelle x=0 keinen Vorzeichenwechsel (sondern in
> jeder Umgebung von x=0 weitere Nullstellen).
Ja, da hast du Recht, solche Fälle hatte ich auf die Schnelle übersehen.
> Dagegen müsste folgender Zusammenhang stimmen, der deine
> Aussage für gängige Schulbeispiele wieder rettet:
>
> Sei [mm]U\subset\IR[/mm] offen, [mm]f\colon U\to\IR[/mm] stetig
> differenzierbar, [mm]x\in[/mm] U.
> f habe in x ein Extremum, f' in x eine ISOLIERTE
> Nullstelle.
> Dann hat f' einen Vorzeichenwechsel an der Stelle x.
Das möchte ich jetzt aber doch noch für den Themanstarter/die Thementarterin übersetzen: es bedeutet, dass man die Methode mit dem Vorzeichenwechsel nur dann anwenden darf, wenn die Nullstellen der Ableitung nicht beliebig nah nebeneinanderliegen können. Ein Beispiel für eine Funktion, bei der dies der Fall ist, hat tobit09 ja angegeben. Es ist ein Beispiel, welches für Schüler nicht so ganz leicht zu verstehen ist. Aber du könntest einmal deinen GRT mit dem oberen Term der Funktionsdefinition füttern und dir ansehen, was dieses Schaubild so macht. Interessant ist dabei vor allem, was um den Ursprung herum passiert, wenn man dort immer mehr zoomt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 24.03.2012 | | Autor: | luna19 |
Danke für die Antwort!
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