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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extremalstellen zu der Funktion z.
z(x,y) = [mm] 2x^2y+2xy^2+2xy+(2/3)y^3+y^2-4y [/mm] |
Hallo,
ich habe als Nullstellen für die Funktion jeweils für (x,y) folgende Werte herausbekommen: (-2,3),(1,-3),(1,0),(-2,0).
Danach wollte ich mit Hilfe der Hesse-Matrix und ihrer Hauptunterdeterminaten bestimmen welche Defenitheit die Hesse-Matrix jeweils an den Nullstellen besitzt.
Bei (-2,3) kam bei det [mm] H_1: [/mm] 12 und bei det [mm] H_2: [/mm] 0 heraus. Die Null sagt mir doch dann, dass die Hesse-Matrix positivsemidefinit ist, oder? und daraus müsste doch folgen, dass die Funktion keine Extremstelle besitzt. Da für eine Extremstelle doch gelten müsste das die Hesse-Matrix positiv oder negativ definit an einer Nullstelle ist. Laut Lösung müsste jedoch bei der Nullstelle x=-2 und y=3 ein lokales Minimum sein.
Könnte mir hier viell. jemand weiterhelfen, bzw. mir sagen, ob ich mit meiner Semidefinitheit richtig liege??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schon einmal im Voraus.
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Hi,
Schreibe doch mal den Gradienten und die Hesse-Matrix hierein. Dann ist es leichter den Fehler zu finden und ich denke du wirst dann auch schneller eine Antwort bekommen.
Grüße Patrick
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> Bestimmen Sie alle lokalen Extremalstellen zu der Funktion
> z.
> z(x,y) = [mm]2x^2y+2xy^2+2xy+(2/3)y^3+y^2-4y[/mm]
> Hallo,
> ich habe als Nullstellen für die Funktion jeweils für
> (x,y) folgende Werte herausbekommen:
> (-2,3),(1,-3),(1,0),(-2,0).
> Danach wollte ich mit Hilfe der Hesse-Matrix und ihrer
> Hauptunterdeterminaten bestimmen welche Defenitheit die
> Hesse-Matrix jeweils an den Nullstellen besitzt.
> Bei (-2,3) kam bei det [mm]H_1:[/mm] 12 und bei det [mm]H_2:[/mm] 0 heraus.
> Die Null sagt mir doch dann, dass die Hesse-Matrix
> positivsemidefinit ist, oder? und daraus müsste doch
> folgen, dass die Funktion keine Extremstelle besitzt.
Hallo,
nein, daß stimmt nicht.
Bei Semidefinitheit kann man anhand der Hessematrix keine Entscheidung für oder gegen das Vorliegen eines Extremwertes treffen.
Gruß v. Angela
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Wie, wenn nicht mit Hilfe der Hesse-Matrix, könnte man dann eine Entscheidung treffen, ob ein Extrempunkt vorliegt???
Viell. könnte mir auch jemand sagen, ob ich allgemein eigentlich richtig bei der Bestimmung eines Extrempunktes vorgehe. Hier meine Vorgehensweiße:
1. Ich leite die Funktion z(x,y) = $ [mm] 2x^2y+2xy^2+2xy+(2/3)y^3+y^2-4y [/mm] $ zunächst jeweils einmal nach x und y ab. Das liefert:
[mm] z_x(x,y) [/mm] = [mm] 4*x*y+2*y^2+2*y
[/mm]
und
[mm] z_y(x,y) [/mm] = [mm] 2*x^2+4*x*y+2*x+2*y^2+2*y-4
[/mm]
2. Dadurch erhalt ich den Gradienten: grad g (x,y) = [mm] \vektor{(4*x*y+2*y^2+2*y) \\ (2*x^2+4*x*y+2*x+2*y^2+2*y-4
)}
[/mm]
3. Danach bestimme ich die Hesse-Matrix mit folgenden Einträgen:
H= [mm] \pmat{(4y) & (4*x+4*y+2) \\ (4*x+4*y+2) & (4*x+4*y+2) }
[/mm]
4. Ich bestimme die Nullstellen der partiellen Ableitung durch gleich setzen von: [mm] 4*x*y+2*y^2+2*y [/mm] = [mm] 2*x^2+4*x*y+2*x+2*y^2+2*y-4
[/mm]
ich erhalte: [mm] x_1 [/mm] = -2 und [mm] x_2 [/mm] = 1
Diese x-Werte setze ich in die Gleichung: [mm] 4*x*y+2*y^2+2*y=0 [/mm] ein und erhalte folgende Wertepaare: (-2;3), (-2;0), (1;-3) und (1,0)
5. Nun beginne ich jedes einzelne Wertepaar abzuarbeiten. Beginnend bei (-2;3).
Ich setze den x-Wert -2 und den y-Wert 3 in die Hesse Matrix ein und erhalte:
H= [mm] \pmat [/mm] {12 & 6 [mm] \\ [/mm] 6 & 6}
6. Ich berechne nun meine (Unter)Determinanten der Hesse-Matrix und erhalte: det [mm] H_1 [/mm] (-2;3) = 12 und det [mm] H_2 [/mm] (-2;3) = 0
Jetzt würde ich sagen, dass die Hesse-Matrix positiv semidefinit ist. Ich würde daraus folgern, das die Funktion bei x=-2 und y=3 keinen Extrempunkt, sondern höchstens einen Sattelpunkt hat. Laut Lösung hat die Funktion hier jedoch ein lokales Minimum. Aber wie kommt man darauf?????
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> 5. Nun beginne ich jedes einzelne Wertepaar abzuarbeiten.
> Beginnend bei (-2;3).
> Ich setze den x-Wert -2 und den y-Wert 3 in die Hesse
> Matrix ein und erhalte:
> H= [mm] \pmat [/mm] {12 & 6 [mm] \\ [/mm] 6 & 6}
>
> 6. Ich berechne nun meine (Unter)Determinanten der
> Hesse-Matrix und erhalte: det [mm]H_1[/mm] (-2;3) = 12 und det [mm]H_2[/mm]
> (-2;3) = 0
Hallo,
es ist det (12)=12 und det [mm] \pmat{12 & 6 \\ 6 & 6}=36.
[/mm]
Also nichts mit semidefinit, und damit paßt dann auch alles.
Gruß v. Angela
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