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Hallo!
Haben eine Aufgabe bekommen, habe ein kleines Problem, ich finde die Hauptbedingung nicht! Die Aufgabe lautet wie folgt:
Ein zylindrischer Behälter für [mm] 1000cm^{3} [/mm] Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während der Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro [mm] cm^{2} [/mm] viermal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?
Nun mein Probelm... die Hauptbedingng! Die Nebenbedingung ist klar (und hoffentlich richtig):
[mm] V=\pi\*r^{2}\*h \to 1000=\pi\*r^{2}\*h
[/mm]
welche man dann nach H oder R umstellen muss!
Ich dachte erst, das die Hauptbedingung die Oberfläche sein muss, aber dann kommt keine Gleichung raus...
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen?
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Okay, demzufolge müsste die HB lauten:
[mm] A=2\*\pi\*r^{2}+4\*[2\*\pi\*r\*(\bruch{1000}{pi\*r^{2}})]
[/mm]
die Ableitungen...:
[mm] A'(r)=4\*\pi\*r+4\*[2\*\pi\*(\bruch{1000}{2\*pi\*r})
[/mm]
[mm] A"(r)=4\*\pi+4\*(\bruch{1000}{2\*pi})
[/mm]
...welche hoffentlich stimmen?!
Dann müsste ich die ertse Ableitung nach A'(r)=0 auflösen...:
[mm] 4\*\pi\*r+4\*[2\*\pi\*(\bruch{1000}{2\*pi\*r})=0 [/mm] ....
kann mir mal jemand sagen, was da jetzt für r rauskommt (habe probiert es nach r aufzulösen, und da kommt -2 raus, was irgendwie nich stimmen kann)?
Dankeschön!
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Hallo!
In deiner Formel vom Flächeninhalt hast du unter anderem 1/r => r^-1
Dieses Leitest du hab mit -1*r^-2.
Überprüf doch deine Formeln daraufhin mal ;)!
Gruß Isi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaoslegend!
> [mm]A=2\*\pi\*r^{2}+4\*[2\*\pi\*r\*(\bruch{1000}{\pi\*r^{2}})][/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das würde ich vor weiteren Berechnungen noch etwas umformen (zusammenfassen und kürzen), und dann wirst Du sicherlich auch Deinen Fehler beim Ableiten erkennen ...
[mm] $\red{K}(r) [/mm] \ = \ 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] \ + \ 4 * [mm] \bruch{2 * \pi * r * 1000}{\pi * r^2} [/mm] \ = \ 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] \ + \ [mm] \bruch{4 * 2000}{r} [/mm] \ = \ 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] \ + \ 8000 * [mm] r^{-1}$
[/mm]
Kontrollergebnis (bitte nachrechnen!) : $r \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{2000}{\pi} \ } [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 8,60 \ cm$
Loddar
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Okay!
Alles klar soweit... die Ableitungen müssten dann sein:
[mm] A'(r)=4\*\pi\*r\*(-8000)\*r [/mm] (bin mir nicht ganz sicher, da ich nicht weiss was die Ableitung von [mm] r^{-1} [/mm] is!)
[mm] A"(r)=4\*\pi\*(-8000) [/mm] (oder?)
dann, wenns stimmt, muss ich ja die erste Ableitung 0 setzen:
A'(r)=0 => [mm] 4\*\pi\*r\*(-8000)\*r=0
[/mm]
jetzt is mir aber nicht ganz klar, wie Loddar weiter gemacht hat (in Bezug auf diese Gleichung)!??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaoslegend!
Folgende 2 Hinweise:
[1]
Den Ausdruck [mm] $r^{-1}$ [/mm] kannst Du ganz "normal" mit der  Potenzregel ableiten:
[mm] $\left( \ r^{-1} \ \right)' [/mm] \ = \ (-1) * [mm] r^{-1-1} [/mm] \ = \ (-1) * [mm] r^{-2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{r^2}$
[/mm]
[2]
Aufpassen mit den Vorzeichen !!
In unserer Kostenfunktion steht ein "+"-Zeichen in der Mitte.
Das mußt Du beim Ableiten auch berücksichtigen.
$K(r) \ = \ 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 8000 * [mm] r^{-1}$
[/mm]
Zur Kontrolle gebe ich Dir mal die 1. Ableitung (bitte nachrechnen):
$K'(r) \ = \ 4 * [mm] \pi [/mm] * r \ [mm] \red{+} [/mm] \ 8000 * (-1) * [mm] r^{-2}$
[/mm]
$K'(r) \ = \ 4 * [mm] \pi [/mm] * r \ - \ 8000 * [mm] r^{-2} [/mm] \ = \ 4 * [mm] \pi [/mm] * r \ - \ [mm] \bruch{8000 }{r^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4 * \pi * r^3 \ - \ 8000 }{r^2}$
[/mm]
Loddar
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Vielen dank nochmal! Habe das jetzt mal gelöst, hoffe es ist richtig?!
[mm] A(r)=2\*\pi\*r^{2}+8000\*r^{-1}
[/mm]
[mm] A'(r)=4\*\pi\*r-8000\*r^{-2}
[/mm]
[mm] A"(r)=4\*\pi+16000\*r^{-3}
[/mm]
A'(r)=0 => [mm] 4\*\pi\*r-8000\*r^{-2}=0
[/mm]
[mm] r\approx\pm8,6
[/mm]
[mm] A"(8,6)=4\*\pi+16000\*r^{-3}\approx37,69cm^{2} [/mm] => Minimum
r=8,6cm
h=4,3cm
[mm] A_{min}=1394,94cm^{2}
[/mm]
Vielen dank nochmal! Sollte irgendjemand einen Fehler finden, bitte melden! Danke;)!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaoslegend!
> Vielen dank nochmal! Habe das jetzt mal gelöst, hoffe es
> ist richtig?!
>
> [mm]A(r)=2\*\pi\*r^{2}+8000\*r^{-1}[/mm]
> [mm]A'(r)=4\*\pi\*r-8000\*r^{-2}[/mm]
> [mm]A"(r)=4\*\pi+16000\*r^{-3}[/mm]
> A'(r)=0 => [mm]4\*\pi\*r-8000\*r^{-2}=0[/mm]
> [mm]r\approx\pm8,6[/mm]
Der Zahlenwert ist OK.
Aber wie kommst Du auf das $ [mm] \red{\pm} [/mm] \ 8,6$ ?? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Bei der 3. Wurzel [mm] $\wurzel[3]{ \ ... \ }$ [/mm] kommt immer dasselbe Vorzeichen wie unter der Wurzel heraus, also in unserem Falle "+".
> [mm]A"(8,6)=4\*\pi+16000\*r^{-3}\approx37,69cm^{2}[/mm] => Minimum
Bitte hier ohne Einheiten schreiben !!
Denn [mm] $cm^2$ [/mm] wird definitv nicht stimmen.
> r=8,6cm
> h=4,3cm
> [mm]A_{min}=1394,94cm^{2}[/mm]
Bei unserer Funktion handelt es sich nicht um eine (Ober-)Flächenangabe sondern um eine Funktion für die Materialkosten, da wir irgendwann einen Faktor 4 für die beiden verschiedenen Materialien eingeführt haben.
(Daher hatte ich in meinen Artikel auch immer [mm] $\red{K}(r)$ [/mm] geschrieben.)
In diesem Fall reicht die Angabe von von $h$ und $r$.
Loddar
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Vielen dank nochmal für die Hilfe!
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Warum erhältst Du hier keine Gleichung ??
