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Hallo!
Ich habe mal eine Frage, und zwar haben wir ein neues Thema begonnen, und mir ist das noch nicht so ganz klar! Es handelt sich um das Thema Extremalprobleme wozu wir folgende Aufgabe bekommen haben:
Der Eckpunckt P (x|y) des Abgebildeten (kann ich hier leider nicht einfügen..) Achsenparallelen Rechteckes liegt auf der Parabel [mm] f(x)=3-x^{2}.
[/mm]
Wie muss X gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird?
Wir haben zu diesem Thema schon ein paar Aufgaben gerechnet, aber mit dieser komme ich überhaupt nicht klar... Könntet ihr mir vielleicht weiterhelfen? Bräuchte die Hauptbedingung und die Nebenbedingung (die ich aus dem Text nicht entnehmen kann...).
Bedanke mich schon mal im vorraus;)...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 02.02.2005 | | Autor: | dominik |
1. [mm]A_{Rechteck}=x*y=A(x,y)[/mm]; das ist die Hauptbedingung.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gleich dem Produkt aus der Länge x und der Breite y und vorläufig von beiden Grössen (x und y) abhängig. Da später die Funktion A abgeleitet werden muss, darf A nur von einer Varablen abhängig sein: von x oder von y oder sogar von einer dritten Grösse, zB der Diagonalen des Rechtecks.
x liegt auf der x-Achse, y entspricht dem Abstand des Punktes P von der x-Achse. Weil die Gleichung der Funktion bekannt ist, lässt sich y folgendermassen durch x ausdrücken: [mm]y=f(x)=3-x^2[/mm]. Dieser Wert ist die Nebenbedingung und wird in der Gleichung (1) eingesetzt:
2. [mm]A=x*f(x)=x*(3-x^2)=3x-x^3=A(x)[/mm]
Jetzt ist A nur noch von x abhängig und kann abgeleitet werden:
3. [mm]A'(x)=3-3x^2[/mm]
4. [mm]A'(x)=3-3x^2=0[/mm]
Das ergibt den x-Wert, wo die Funktion A eine waagrechte Tangente hat und somit ein (lokales) Extremum; der Inhalt des Rechtecks soll ja maximal werden!
5. [mm]A'(x)=3-3x^2=0 \gdw x^2=1 \gdw x=\pm 1[/mm]
Dies sind die beiden Lösungen für die beiden Rechtecke, die symmetrisch zu einander links und rechts von der y-Achse liegen.
6. Die zweite Ableitung von A entscheidet über ein Maximum oder Minimum:
[mm]A"(x)=-6x \Rightarrow A"(1)<0 \Rightarrow[/mm] für x=1 wird A maximal.
[Für x=-1 wird die zweite Ableitung positiv, was einem Minimum entspricht. Dies hat damit zu tun, dass links von der y-Achse die Funktion A'(x) ein Stück weit im negativen Bereich verläuft.]
Der Flächeninhalt beträgt dann [mm]A(1)=3*1-1^3=2[/mm] oder einfacher: P hat die Koordinaten (1/2). Damit ist der Flächeninhalt gleich 2.
Viele Grüsse
dominik
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Hallo!
Habe das jetzt ansatzweise verstanden! Habe dasselbe rausbekommen wie sie! Vielen Dank nochmal!!!!
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