Extremalberechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 24.10.2005 | | Autor: | dytronic |
Hallo leute,
ich habe eine aufgabe, an der mein mathekurs und ich zu scheitern drohen...vllt komtm diese auch in der klausur ran. der lehrer hat es angedeutet. Die Aufgabe besitzt ein Bild, wobei ich nicht weiss wie ich es hier reinstellen soll, ich hab es mal mit paint gemalt und hier hochgeladen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ansonsten ist dei Aufgabe im Buch "Grundkurs Mathematik 13.1 Berlin" vom Corneslon Verlag zu finden auf Seite 171 Nr. 11
Aufgabe :Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Plantagengrundstück. Über einen Pflock P, der sich - von der Grundstücksecke O aus gesehen - an der Position P (1|2) befindet, soll ein Seil so gespannt werden, dass ein dreieckiges Areal XOY abgeteilt wird. In welchen Abständen von der Mauerecke O müssen die Seilbefestigungen X und Y angebracht werden, wenn der Flächeninhalt A des abgeteilten Areals minimal sien soll?
So ich weiss, dass es sich um eine Extremalaufgabe handelt und deshalb habe ich die Geradengleichung von P bestimmt: 2= 1m + n (wegen y=mx+n) und da ich keinen anderen Punkt ausser O (0|0) finde, kann ich dei Geradengleichung nicht vollständig bestimmen und somit in A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x y einsetzen.Diese müsste ich dann ableiten udn gleich 0 setzen um es extremal zu bestimmen. Könnt ihr mir bitte zur Lösung der Aufgabe verhelfen?
gruß dytronic
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo dytronic!
Deine Hauptbedingung hast Du mit $A(x;y) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x*y$ [/mm] bereits aufgestellt.
Die Nebenbedingung erhältst Du aus dem Strahlensatz.
Es gilt ja: [mm] $\bruch{y}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x-1}$
[/mm]
Dies kannst Du nun nach $y \ = \ ...$ umstellen und in die Flächenformel einsetzen. Damit dann wie gewohnt Deine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 24.10.2005 | | Autor: | dytronic |
aha... warum muss ich denn hier den strahelnsatz anwenden, weil wir haben den seit jahren nicht merh im unterricht besprochen, aber nun gut:
nun berrechne ich y:
y= [mm] \bruch{2x}{x-1} [/mm]
einsetzen von y: A(x;y) = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x\cdot{} \bruch{2x}{x-1} [/mm]
= [mm] \bruch{x^{2}}{x-1}
[/mm]
A'(x)= [mm] \bruch{2x \cdot{} (x-1) - x^{2} \cdot{} 1}{(x-1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2x^{2} -2x -x^{2}}{(x-1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x (x-2)}{(x-1)^{2}}
[/mm]
A'(x)=0
also muss x=0 oder x=2 sein.
Überprüfung mit der zweiten ableitung:
f''(x)= [mm] \bruch{2}{(x-1)^{3}}
[/mm]
also:
f''(0)= -2, also ein maximum
f''(2)= 2, also ein minimum!!!
Einsetzen in die zielfunktion:
f(2)= [mm] \bruch{4}{1} [/mm] =4´
Also muss X=2 und y=4 gewählt werden
richtig?
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Hallo dytronic!
> aha... warum muss ich denn hier den strahelnsatz anwenden,
> weil wir haben den seit jahren nicht merh im unterricht
> besprochen,
Tja! Das ist das schlimme am Mathe-Unterricht: die einzelnen Sachen verfolgen einen bis an das mathematische Ende  ...
Der Rest ist alles richtig ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") !!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 24.10.2005 | | Autor: | dytronic |
noch eine frage, wie kam roadrunner auf diesen strahlensatz:
[mm] \bruch{2}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] hat er dazu den punkt (1|2) benutzt oder gilt er allgemein?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Strahlensatz