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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 So 05.06.2005 | | Autor: | Serena |
Aufgabe:
Laut Gebührenordnung der Post dürfen bei Briefen in Rollenform die Länge und der zweifache Grundkreisdurchmesser zusammen höchstens 104 cm betragen. Bei welcher Länge und welchem Durchmesser nimmt eine solche Briefrolle am meinsten Raum in Anspruch? Wieviel dm³ beträgt dann der Raumbedarf?
Ich muss ja mit der Extremalbedingung anfangen, ich dachte mir vielleicht könnte es diese sein, ...
V= pi * r² * h
Könnte das stimmen?
Ich weiß dann nicht, wie ich mit der Nebenbedingung weitermachen soll?
Kann mir jemand vielleicht helfen???
Vielen Dank schonmal im vorraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 So 05.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Serena,
> Aufgabe:
> Laut Gebührenordnung der Post dürfen bei Briefen in
> Rollenform die Länge und der zweifache
> Grundkreisdurchmesser zusammen höchstens 104 cm betragen.
> Bei welcher Länge und welchem Durchmesser nimmt eine solche
> Briefrolle am meinsten Raum in Anspruch? Wieviel dm³
> beträgt dann der Raumbedarf?
>
> Ich muss ja mit der Extremalbedingung anfangen, ich dachte
> mir vielleicht könnte es diese sein, ...
> V= pi * r² * h
>
> Könnte das stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich weiß dann nicht, wie ich mit der Nebenbedingung
> weitermachen soll?
Die Nebenbedingung steht praktisch schon in der Aufgabe. Dabei ist die Länge gleich h und der Grundkreisdurchmesser gleich 2 r, der zweifache Grundkreisdurchmesser also? Die größtmögliche Summe ist dir ja angegeben.
Versuch's doch einfach mal.
Gruß
Sigrid
>
> Kann mir jemand vielleicht helfen???
>
> Vielen Dank schonmal im vorraus!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 05.06.2005 | | Autor: | Serena |
Heißt die Nebenbedingung dann, ...
104 = pi * 2r²*h ????? oder ist das ganz falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 05.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Serena,
> Heißt die Nebenbedingung dann, ...
>
> 104 = pi * 2r²*h ????? oder ist das ganz falsch???
Leider ja,
Der doppelte Grundkreisdurchmesser (also 4r) und die Länge des Päckchens (also die Höhe des Zylinders) sollen 104 cm nicht überschreiten,
also ist die Nebenbedingung:
[mm] 4\ r\ +\ h \ = \ 104 [/mm]
Diese Gleichung löst du jetzt nach h auf und setzt sie in deine Volumenformel ein. Damit erhälst du die Zielfunktion in Abhängigkeit von r. Von dieser Funktion kannst du dann das Maximum bestimmen.
Versuch's mal. Bei Fragen kannst du dich wieder melden.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 05.06.2005 | | Autor: | Serena |
Ich habe es mal gerechnet, komme aber nicht auf das vorgegebene Ergebnis:
Nebenbedingung:
104 = 4r + h /-4r
104 - 4r = h
Zielfunktion:
V = pi * r² * (104 - 4r)
V = pi * 104r² - 4r³
V' = 208r - 12r²
V'' = 208 - 24r
208r - 12r² = 0
r (208 - 12r) = 0
208 - 12r = 0 /-208
-12r = -208 / /(-12)
r = 17,33333333
104*4*17,3333333 = h
h = 7.210,66666
V''(17,333333) = -207,99999 ==> rel. Max
V = pi * 17,333333² * 7.210,666666
V = 392.651,6012 und das ist nicht richtig.
Wo liegt denn jetzt mein Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 05.06.2005 | | Autor: | Serena |
Ich habe es mal gerechnet, komme aber nicht auf das vorgegebene Ergebnis:
Nebenbedingung:
104 = 4r + h /-4r
104 - 4r = h
Zielfunktion:
V = pi * r² * (104 - 4r)
V = pi * 104r² - 4r³
V' = 208r - 12r²
V'' = 208 - 24r
208r - 12r² = 0
r (208 - 12r) = 0
208 - 12r = 0 /-208
-12r = -208 / /(-12)
r = 17,33333333
104*4*17,3333333 = h
h = 7.210,66666
V''(17,333333) = -207,99999 ==> rel. Max
V = pi * 17,333333² * 7.210,666666
V = 392.651,6012 und das ist nicht richtig.
Wo liegt denn jetzt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 05.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Serena,
> Ich habe es mal gerechnet, komme aber nicht auf das
> vorgegebene Ergebnis:
>
> Nebenbedingung:
> 104 = 4r + h /-4r
>
> 104 - 4r = h
>
> Zielfunktion:
> V = pi * r² * (104 - 4r)
> V = pi * 104r² - 4r³
> V' = 208r - 12r²
> V'' = 208 - 24r
>
> 208r - 12r² = 0
> r (208 - 12r) = 0
> 208 - 12r = 0 /-208
> -12r = -208 / /(-12)
> r = 17,33333333
>
>
> 104*4*17,3333333 = h
Hier hast du einen Fehler gemacht.
Deine Nebenbedingung lautete doch
h = 104 - 4 r,
also ergibt sich h = 34,67
> h = 7.210,66666
>
> V''(17,333333) = -207,99999 ==> rel. Max
>
> V = pi * 17,333333² * 7.210,666666
> V = 392.651,6012 und das ist nicht richtig.
>
> Wo liegt denn jetzt mein Fehler?
Ich denke, jetzt kommst du an das richtige Ergebnis.
Gruß
Sigrid
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
$V(r) \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] 104*r^2 [/mm] - [mm] 4*\red{\pi}*r^3 [/mm] \ = \ [mm] \pi*\red{(}104r^2 [/mm] - [mm] 4r^3\red{)}$
[/mm]![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Volumeneinheit am Ende in [mm] $dm^3$ [/mm] umrechnen (siehe Aufgabenstellung)!
