Extrema von Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:05 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Emmaventa |
| Aufgabe | F(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{sin(t)}{1+t^2 } }
[/mm]
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema des Integrals. |
Ich weiß das die Extrema bei F´(x)= 0 zu finden sind.
Die Ableitung des Integrals ist ja einfach nur die Formel [mm] \bruch{sin(t)}{1+t^2 } [/mm] ohne das Integral. (?)
Aber wann gilt für diesen Bruch F´(x)= 0?
Und wie muss ich dann weiter rechnen um die Extrema zu bestimmen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> F(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{\bruch{sin(t)}{1+t^2 } }[/mm]
>
> Bestimmen Sie alle lokalen Extrema des Integrals.
> Ich weiß das die Extrema bei F´(x)= 0 zu finden sind.
> Die Ableitung des Integrals ist ja einfach nur die Formel
> [mm]\bruch{sin(t)}{1+t^2 }[/mm] ohne das Integral. (?)
>
> Aber wann gilt für diesen Bruch F´(x)= 0?
>
Ein Bruch ist dann und nur dann gleich Null, wenn sein Zähler Null ist ...
Das mal so als erste Anregung. 
Gruß, Diophant
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Ach ja stimmt:)
Also muss t=0 sein.
Diesen Wert muss man ja nun in die zweite Ableitung F''(x) einsetzen.
Aber wie kann ich den Bruch nach x ableiten, wenn er gar kein x enthält?
Folglich ist er doch eine Konstante und fällt komplet weg oder?
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Hallo,
> Ach ja stimmt:)
> Also muss t=0 sein.
>
Nein, da sind mehrere Denkfehler drin, die sich auch auf das nachfolgende auswirken. Das ganze ist eine Integralfunktion und die Ableitung lautet natürlcih
[mm] F'(x)=\bruch{sin(x)}{1+x^2}
[/mm]
Unter anderem ist hier x=0 eine Nullstelle. Das ist allerdings eine von unendlich vielen Lösungen, die du sicherlich alle angeben sollst.
> Diesen Wert muss man ja nun in die zweite Ableitung F''(x)
> einsetzen.
> Aber wie kann ich den Bruch nach x ableiten, wenn er gar
> kein x enthält?
> Folglich ist er doch eine Konstante und fällt komplet weg
> oder?
>
Nein, siehe oben. Den Integrand der Integralfunktion nochmals ableiten ergibt die gewünschtezweite Ableitung F''(x).
PS
Noch eine organisatorische Bitte: Wenn auf eine Frage eine Antwort erfolgt ist, du aber die Aufgabe noch nicht lösen kannst sondern weitere Fragen hast, dann stelle diese Fragen bitte als weitere Fragebeiträge im gleichen Thread, keinesfalls sollte jedoch der Status einer beantworteten Frage zurückgesetzt werden* oder ein neuer Thread für die gleiche Aufgabe begonnen werden.
*Das ist für den Ausnahmefall gedacht, dass eine Antwort mit der Frage überhaupt nichts zu tun hat.
Gruß, Diophant
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ok, also berechne ich mit der Quotientenregel F´´(x) und setze den Wert x=0 ein.
Dann bekomme ich für F´´(0)=1, das ist größer als Null folglich hat die Funktion in x=0 ein lokales Minimum.
Richtig?
Weitere lokale Extrema kann ich nicht finden.
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Hallo,
> ok, also berechne ich mit der Quotientenregel F´´(x) und
> setze den Wert x=0 ein.
> Dann bekomme ich für F´´(0)=1, das ist größer als
> Null folglich hat die Funktion in x=0 ein lokales Minimum.
> Richtig?
Du hättest besser deine Resultate hier eingetippt. So muss ich das ganze jetzt nochmals getrennt nachrechnen, was zwar für mich nicht schlimm ist (sonst würde ich hier nicht mittun) aber sicherlich nicht gerade dazu beiträgt, dass man dir möglichst gezielt helfen kann.
Zum fachlichen:
[mm] F''(x)=\bruch{(1+x^2)*cos(x)-2x*sin(x)}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Und das ist an der Stelle x=0 wegen cos(1)>0 positiv. Also haben wir dort ein lokales Minimum, welches aber völlg trivial ist (weshalb, was 'tut' eine Integralfunktion?).
>
> Weitere lokale Extrema kann ich nicht finden.
Dann hast du doch nocht nicht so richtig gesucht. Es ist
sin(x)=0 für [mm] k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ, [/mm] und da hier noch nicht einmal negative x-Werte ausgeschlossen sind (es sei denn, du hättest uns etwa unterschlagen  ), gibt es ziemlich viele solcher Extrema...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mo 16.09.2013 | | Autor: | Emmaventa |
Ok, danke du hast mir sehr geholfen
Ich glaub ich schau mir die Aufgabe morgen nochmal an wenn ich nicht mehr so auf dem Schlauch stehe. ;)
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