Extrema mit Nebenbedingung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen Matheraum.
Ich stehe leider vor einer echten Herausforderung.
Es geht um folgende Aufgabe:
Ein Chemieunternehmen entwirft einen Stahltank mit vernachlässigbarer Wandstärke für Flüssigkeiten. Dieser soll aus einem beidseitig durch Halbkugelschalen abgeschlossenen Hohlzylinder bestehen. Die Füllmenge betrage [mm] V_0=10^4 m^3 [/mm] Welche Abmessungen sollte der Tank haben, um den Werkstoffverbrauch zu minimieren?
Ich habe das Thema unter Extrema mit Nebenbedingung eingeordnet, da ich vermute, dass man das ganze eventuell somit lösen kann.
Ich habe somit folgende Nebenbedingungen:
für die Halbkugelschale: [mm] x^2+y^2+z^2=r^2 [/mm] und für den Hohlzylinder [mm] x^2+y^2=r^2, [/mm] wobei ich ja jeweils nur den inneren Radius betrachten muss, da die Wandstärke ja vernachlässigbar ist.
Hier mal meine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich suche nun eine Zielfunktion, die das ganze irgendwie erklärt. Bin aber leider ein wenig überfordert und hoffe das ihr eventuell ein paar Anregungen habt.
Ich wäre wirklich für jede Hilfe dankbar. mfg dodo4ever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das über die Volumen/Flächenformeln lösen.
Nennen wir die Zylinderhöhe mal h, den Kugel- und Zylinderradius mal r.
Dann gilt:
[mm]O(r,h)=\underbrace{4\pi\cdot r^{2}}_{\text{Fläche Kugel}}+\underbrace{2\pi\cdot r\cdot h}_{\text{Mantelfläche Zylinder}}[/mm]
Nun soll das Volumen $ [mm] V_0=10^4 m^3 [/mm] $ betragen, also soll gelten:
[mm] $V(r,h)=\underbrace{\frac{4}{3}\pi\cdot r^{3}}_{\text{Volume der Kugel}}+\underbrace{\pi\cdot r^{2}\cdot h}_{\text{Volumen Zylinder}}=10^{4}$
[/mm]
Löse das Volumen nach einer Variable auf, hier beitet sich h an), und setze dieses dann in die Oberfläche ein, dann hast du eine Zielfunktion, die nur noch von Radius r abhängig ist. Von dieser bestimme dann das Minimum.
Marius
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Hallo M.Rex und danke für die prompte Antwort ( Lichtgeschwindigkeit :) )...
Kurze Frage:
Das ist keine schlechte Idee :).
Ich vermute mal du rechnest für eine ganze Kugel anstatt für eine halbe Kugel, da sich die beiden Enden ja sowieso addieren oder???
Also sprich:
Fläche obere Halbkugel + Fläche untere Halbkugel= [mm] 2\pi\cdot r^{2}+2\pi\cdot r^{2}=4\pi\cdot r^{2}
[/mm]
Volumen obere Halbkugel + Volumen untere Halbkugel= [mm] {\frac{2}{3}\pi\cdot r^{3}}+{\frac{2}{3}\pi\cdot r^{3}}={\frac{4}{3}\pi\cdot r^{3}}
[/mm]
Und ich vermute das meine Nebendbedingungen nicht Halbkugelschale [mm] x^2+y^2+z^2=r^2 [/mm] und Hohlzylinder [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] sondern, dass das Volumen eben [mm] V_0=10^4 m^3 [/mm] sein soll, ist.
Warum aber bietet sich gerade h an? Wäre r nicht auch richtig??? Dann wäre meine Oberfläche nur noch abhängig von h und ich könnte ja z.b. den Abstand der beiden Halbkugel auf bis zu 0m minimieren...
Okay ich löse nun [mm] V(r,h)=\underbrace{\frac{4}{3}\pi\cdot r^{3}}_{\text{Volume der Kugel}}+\underbrace{\pi\cdot r^{2}\cdot h}_{\text{Volumen Zylinder}}=10^{4} [/mm] nach h auf:
[mm] h=\bruch{10^4}{\pi r^2}-\bruch{4r}{3}
[/mm]
durch einsetzen in die Oberfläche ergibt sich:
O(r)=4 [mm] \pi r^2 [/mm] + [mm] 20^4 \bruch{1}{r} [/mm] - [mm] \bruch{8}{3} \pi r^2=4\pi r^2(1-\bruch{2}{3}) [/mm] + [mm] 20^4 \bruch{1}{r}
[/mm]
Aber wie komme ich nun zum Minimum???
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 09.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo M.Rex und danke für die prompte Antwort (
> Lichtgeschwindigkeit :) )...
>
> Kurze Frage:
>
> Das ist keine schlechte Idee :).
> Ich vermute mal du rechnest für eine ganze Kugel anstatt
> für eine halbe Kugel, da sich die beiden Enden ja sowieso
> addieren oder???
So ist es, die beiden Kugel addieren sich zu einer Kugel, sowohl bei der Oberfläche, als auch beim Volumen.
>
> Also sprich:
>
> Fläche obere Halbkugel + Fläche untere Halbkugel=
> [mm]2\pi\cdot r^{2}+2\pi\cdot r^{2}=4\pi\cdot r^{2}[/mm]
>
> Volumen obere Halbkugel + Volumen untere Halbkugel=
> [mm]{\frac{2}{3}\pi\cdot r^{3}}+{\frac{2}{3}\pi\cdot r^{3}}={\frac{4}{3}\pi\cdot r^{3}}[/mm]
So ist es.
>
> Und ich vermute das meine Nebendbedingungen nicht
> Halbkugelschale [mm]x^2+y^2+z^2=r^2[/mm] und Hohlzylinder
> [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] sondern, dass das Volumen eben [mm]V_0=10^4 m^3[/mm]
> sein soll, ist.
Die Wandstärke war vernachlässigbar.
>
> Warum aber bietet sich gerade h an? Wäre r nicht auch
> richtig???
r würde auch gehen, ist aber recht schwer herauszulösen. Außerdem müsstest du diesen Wert dann auch noch mehrfach in O einsetzen, was zu einer "hässlichen" Funktion O(h) führt.
> Dann wäre meine Oberfläche nur noch abhängig
> von h und ich könnte ja z.b. den Abstand der beiden
> Halbkugel auf bis zu 0m minimieren...
Das ist aber nicht zwingend der materialparendste Weg. Durch das vorgegebene Volumen wird dann der Radius der Kugel sehr groß.
>
> Okay ich löse nun [mm]V(r,h)=\underbrace{\frac{4}{3}\pi\cdot r^{3}}_{\text{Volume der Kugel}}+\underbrace{\pi\cdot r^{2}\cdot h}_{\text{Volumen Zylinder}}=10^{4}[/mm]
> nach h auf:
>
> [mm]h=\bruch{10^4}{\pi r^2}-\bruch{4r}{3}[/mm]
Korrekt.
>
> durch einsetzen in die Oberfläche ergibt sich:
>
> O(r)=4 [mm]\pi r^2[/mm] + [mm]20^4 \bruch{1}{r}[/mm] - [mm]\bruch{8}{3} \pi r^2=4\pi r^2(1-\bruch{2}{3})[/mm]
> + [mm]20^4 \bruch{1}{r}[/mm]
Das passt so leider nicht. [mm] 2*10^{4}\ne20^{4} [/mm] und beim Ausmultiplizieren ist dir auch einiges durcheinadergeraten.
Wir hatten:
[mm] O=4\pi\cdot r^{2}+2\pi\cdot r\cdot h [/mm]
nun [mm] h=\frac{10.000}{\pi r^{2}}-\frac{4}{3}r [/mm] einsetzen:
[mm] O=4\pi\cdot r^{2}+2\pi\cdot r\cdot \left(\frac{10.000}{\pi r^{2}}-\frac{4}{3}r\right) [/mm]
Zusammenfassen:
[mm] O=4\pi\cdot r^{2}+\frac{20.000}{r}-\frac{8\pi}{3}r^{2} [/mm]
$ [mm] O=\frac{8\pi}{3}r^{2}+\frac{20.000}{r} [/mm] $
>
> Aber wie komme ich nun zum Minimum???
Mit der Ableitung.
>
> mfg dodo4ever
Marius
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Hallo und danke. Du bist wirklich eine große Hilfe...
Das mit dem ausmultiplizieren tut mir leid. Ich hatte am Ende gemerkt, dass ich die nach h aufgelöste Gleichung in das Volumen eingesetzt habe. Dannach muss ich leider den Überblick verloren haben...
Das mit dem 2 [mm] \cdot 10^4 \not= 20^4 [/mm] ist auch richtig (Dummer Fehler meinerseits)
Okay.
Ich möchte nun das ganze ganz gerne mit meinem Skript aus der Uni ergänzen...
wir haben folgendes gelernt:
Ich komme erstmal zu der Zielfunktion: [mm] O(r)=\frac{8\pi}{3}r^{2}+\frac{20.000}{r}
[/mm]
Laut Skript gibt es 2 Möglichkeiten Min/Max zu bestimmen:
1. Möglichkeit:
[mm] grad_{\vec{x}}f=\Lambda grad_{\vec{x}}g
[/mm]
[mm] g(\vec{x})=0
[/mm]
2. Möglichkeit:
[mm] grad_{\vec{x}}g=\vec{0}
[/mm]
[mm] g(\vec{x})=0
[/mm]
Leider sind die Erklärungen nicht so wirklich schlüssig...
1. Möglichkeit: Nicht linear. Man erhält einzelne Punkte und es folgt das globale Max/Min
2. Möglichkeit: Liefert Punkte, wo g - Niveau keine glatte Fläche oder keine Kurve besitzt.
Das ist für mich schwer nachvollziehbar und ich kann damit leider noch nicht so wirklich etwas anfangen.
Wenn du mir das noch erklären könntest und mir eventuell sagen könntest, welche Möglichkeit sich für mich anbietet, dann würde ich das ganze ganz gerne erstmal alleine probieren und mich eventuell später noch einmal melden...
mfg dodo4ever und many many thanks
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Hallo und danke...
Aber wo führt mich die Ableiung nun hin? Wird das ganze jetzt nicht ziemlich umständlich???
Also die Zielfunktion lautet nun:
[mm] O(r)=\frac{4\pi}{3}r^{2}+\frac{20.000}{r}
[/mm]
Die erste Ableitung lautet: [mm] O'(r)=\frac{8\pi}{3}r-\frac{20000}{r^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r^3-\frac{7500}{\pi}=0 [/mm] und somit erhalte ich meine erste Nullstelle mit [mm] r_1=\wurzel[3]{\frac{7500}{\pi}}
[/mm]
Anschließend erhalte ich mit der Polynomdivion von [mm] r^3-\frac{7500}{\pi}:(r-\wurzel[3]{\frac{7500}{\pi}}) [/mm] eine sehr umständliche Gleichung...
Gibt es hierfür einen Trick???
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 10.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo und danke...
>
> Aber wo führt mich die Ableiung nun hin? Wird das ganze
> jetzt nicht ziemlich umständlich???
>
> Also die Zielfunktion lautet nun:
>
> [mm]O(r)=\frac{4\pi}{3}r^{2}+\frac{20.000}{r}[/mm]
>
> Die erste Ableitung lautet:
> [mm]O'(r)=\frac{8\pi}{3}r-\frac{20000}{r^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow r^3-\frac{7500}{\pi}=0[/mm] und somit erhalte ich
> meine erste Nullstelle mit
> [mm]r_1=\wurzel[3]{\frac{7500}{\pi}}[/mm]
>
> Anschließend erhalte ich mit der Polynomdivion von
> [mm]r^3-\frac{7500}{\pi}:(r-\wurzel[3]{\frac{7500}{\pi}})[/mm] eine
> sehr umständliche Gleichung...
Jetzt hast du aber völlig den Faden verloren. Was heißt "meine erste Nullstelle" ???
Es ist die einzige!
(Es sei denn, du willst komplexe Zahlen als Radius zulassen <img src="/editor/extrafiles/images/konfus.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/konfus.gif" title="konfus.gif" alt="konfus.gif" _cke_realelement="true">)
Der Form halber könntest du noch mit der zweiten Ableitung an dieser Stelle nachweisen, dass es sich tatsächlich um ein lokales MINIMUM der Oberfläche handelt.
Wenn du ganz gewissenhaft bist, weist du noch nach, dass es an den Intervallgrenzen für r kein kleineres globales Minimum gibt.
Gruß Abakus
>
> Gibt es hierfür einen Trick???
>
> mfg dodo4ever
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 11.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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