Extrema mit Nebenbedingung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 08.06.2004 | | Autor: | rossi |
Sers
Hab die Aufgabe:
Bestimmen Sie alle globalen Extremstellen der auf der abgeschlossenen Einheitsscheibe E:={(x,y) [mm] \in\IR^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1} definierten Funktion
f:(x,y) -> [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] -xy
Ich hab soweit alles gelöst;
Minimum bei 0,0 und Maxima bei [mm] (-\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
ABER ich bin mir nicht sicher, ob der weg so richtig ist!
Ich hab
f:(x,y) -> [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] -xy
und als Nebenbedingung
h(x,y) -> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1
genommen - darf ich dass eigentlich so ohne weiteres, weil ich ja eigentlich das [mm] \le [/mm] da nicht beachtet hab!
Kann mir da einer mal kurz helfen!
DANKE
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 08.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Rossi!
> Hab die Aufgabe:
> Bestimmen Sie alle globalen Extremstellen der auf der
> abgeschlossenen Einheitsscheibe E:={(x,y) [mm] \in\IR^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] +
> [mm] y^2 \le [/mm] 1} definierten Funktion
> f:(x,y) -> [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] -xy
>
> Ich hab soweit alles gelöst;
> Minimum bei 0,0 und Maxima bei
> [mm] (-\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und
> [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
Das habe ich jetzt noch nicht nachgerechnet, da ich denke, dass dir meine Antwort auch so weiterhelfen wird.
(Wenn wieder etwas weniger im MatheRaum zu tun ist, werde ich das nachholen, oder jemand anders).
> ABER ich bin mir nicht sicher, ob der weg so richtig ist!
> Ich hab
> f:(x,y) -> [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] -xy
> und als Nebenbedingung
> h(x,y) -> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1
> genommen - darf ich dass eigentlich so ohne weiteres, weil
> ich ja eigentlich das [mm] \le [/mm] da nicht beachtet hab!
Du hast es genau richtig gemacht, jedenfalls lese ich das daraus.
Wie im 1-dimensionalen Fall auch, ist für die Berechnung der globalen Extremwerte auch eine Betrachtung des Rands nötig, und dieser Rand (der Einheitsscheibe) wird gerade beschrieben durch [mm] $x^2+y^2-1=0$.
[/mm]
Die Untersuchung des Innern der Einheitsscheibe (also [mm] $x^2+y^2-1<0$) [/mm] wird ja bereits durch die relativen Extrema abgedeckt.
Viele Grüße,
Marc
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