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| Aufgabe | | Bestimmen Sie mithilfe der Methode von Lagrange das globale Minimum der Zielfunktion f(x,y)=2x+2y, dessen Existenz vorausgesetzt werden darf, unter der Nebenbedingung [mm] g(x,y)=x^2+y^2=2 [/mm] |
Bitte mal drüberschauen ob ich das richtig gemacht habe:
Also zunächst muss gelten
[mm] grad(g(x,y))\not=0
[/mm]
grad(g(x,y))= (2x , 2y)
Da 0 zu einem Widerspruch in der NB führt muss gelten [mm] x,y\in\IR\backslash\{0\}
[/mm]
Also nun Lagrange:
[mm] L(x,y,\lambda)=2x+2y+\lambda*(x^2+y^2-2)
[/mm]
[mm] grad(L(x,y,\lambda))=(2+\lambda2x [/mm] , [mm] 2+\lambda2y [/mm] , [mm] x^2+y^2-2)=0 [/mm]
NLGS:
I. [mm] 2+\lambda2x=0
[/mm]
II. [mm] 2+\lambda2y=0
[/mm]
III. [mm] x^2+y^2-2=0
[/mm]
Also:
I. [mm] 2y+\lambda2xy=0
[/mm]
II. [mm] 2x+\lambda2xy=0
[/mm]
III. [mm] x^2+y^2-2=0
[/mm]
Also:
2y=2x [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Nun:
[mm] x^2+y^2-2=0 \Rightarrow x^2+x^2-2=0 \gdw 2x^2-2=0 \gdw x=\pm1
[/mm]
Und somit:
[mm] y=\pm1
[/mm]
Also P1 (1,1) und P2 (-1,-1)
Schlussendlich:
f(1,1)= 4 und f(-1,-1)= -4
Also liegt bei P1 (1,1) ein globales Minimum vor da f(1,1)>0?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 So 06.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie mithilfe der Methode von Lagrange das globale
> Minimum der Zielfunktion f(x,y)=2x+2y, dessen Existenz
> vorausgesetzt werden darf, unter der Nebenbedingung
> [mm]g(x,y)=x^2+y^2=2[/mm]
> Bitte mal drüberschauen ob ich das richtig gemacht habe:
>
> Also zunächst muss gelten
>
> [mm]grad(g(x,y))\not=0[/mm]
> grad(g(x,y))= (2x , 2y)
>
> Da 0 zu einem Widerspruch in der NB führt muss gelten
> [mm]x,y\in\IR\backslash\{0\}[/mm]
>
> Also nun Lagrange:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=2x+2y+\lambda*(x^2+y^2-2)[/mm]
>
> [mm]grad(L(x,y,\lambda))=(2+\lambda2x[/mm] , [mm]2+\lambda2y[/mm] ,
> [mm]x^2+y^2-2)=0[/mm]
>
> NLGS:
>
> I. [mm]2+\lambda2x=0[/mm]
> II. [mm]2+\lambda2y=0[/mm]
> III. [mm]x^2+y^2-2=0[/mm]
>
> Also:
>
> I. [mm]2y+\lambda2xy=0[/mm]
> II. [mm]2x+\lambda2xy=0[/mm]
> III. [mm]x^2+y^2-2=0[/mm]
>
> Also:
>
> 2y=2x [mm]\Rightarrow[/mm] x=y
>
> Nun:
>
> [mm]x^2+y^2-2=0 \Rightarrow x^2+x^2-2=0 \gdw 2x^2-2=0 \gdw x=\pm1[/mm]
>
> Und somit:
>
> [mm]y=\pm1[/mm]
>
> Also P1 (1,1) und P2 (-1,-1)
>
> Schlussendlich:
>
> f(1,1)= 4 und f(-1,-1)= -4
>
> Also liegt bei P1 (1,1) ein globales Minimum vor da
> f(1,1)>0?
Nein. f nimmt sein in (-1,-1) an.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 06.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast Ectremwerte in (1,1) und (-1,-1) aber der Funktionswert bei (-1,-1) ist kleiner als bei (1,1) wie du ja geschrieben hast, deshalb kann ja bei (1,1) kein Minimum sein!
(du verwechselst da was mit f'' >0 bei Minima von f(x)
Gruss leduart
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