Extrema berechnen (Hesse-Ma.) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie das Skalarfeld f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + 3x^2y + [mm] 3y^2 [/mm] -6y
Untersuchen Sie das Skalarfeld f auf Extreme mit Hilfe der Hesse Matrix. |
Hallo,
ich hatte in einer anderen Aufgabe schon die Nullstellen dazu berechnet. Nun komme ich am Ende aber auf ganz andere Lösungen als in der Lösung angegeben.
Ich rechne das hier mal durch und vielleicht findet ihr meinen Fehler.
Wäre zumindest sehr nett.
grad. f(x,y)= [mm] \vektor{3x^2 + 6xy \\ 3x^2 + 6y -6}
[/mm]
Nullstellen:
[mm] 3x^2 [/mm] + 6xy = 0
[mm] 3x^2 [/mm] + 6y -6 = 0
x(3x+6y) = 0
x1=0
3x+6y=0
y= [mm] -\bruch{3}{6}x [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x
[/mm]
einsetzen in 2. gleichung:
[mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 6(-\bruch{1}{2}x) [/mm] -6 = 0
klammer auflösen:
[mm] 3x^2 [/mm] -3x -6 = 0
PQ-Formel(nach dividieren durch 3):
x1=0 x2=2 x3=-1
hier habe ich nochmals x1=0 erhalten. das ist ja die gleiche die ich vorher auch per ausklammern erhalten habe ?!
nun nehme ich NICHT irgendeine der beiden ableitungen und stelle sie nach y um, sondern die 2. weil ?!?!? die erste x=0 enthält ?!? oder warum?
siehe:
[mm] 3x^2 [/mm] + 6xy = 0
y = [mm] \bruch{-3x^2}{6x} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x
[/mm]
damit komme ich NICHT auf die richtigen y-werte, warum auch immer
ich nehme die andere und stelle sie um:
[mm] 3x^2 [/mm] + 6y -6 = 0
=> y = [mm] \bruch{-3x^2 +6}{6}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] + 1
in diese setze ich nun meine x1-3 ein. und erhalte=
y1=1 y2=-1 [mm] y3=\bruch{3}{2}
[/mm]
also sind meine punkte an den ich potentielle extrema habe.
nun benötige ich noch die entsprechenden ableitungen für die hesse matrix
f''(x,y)xx = 6x+6y
f''(x,y)yy = 6
f''(x,y)xy oder yx = 6x
Da meine Lösung für 2 von 3 Punkte mit der Musterlösung überein stimmt, zeige ich hier nur meine fehlerhafte Lösung.
Hesse Matrix sieht dementsprechend so aus:
[mm] \pmat{ 6x+6y & 6x \\ 6x & 6 }
[/mm]
(Hess [mm] f)(-1,\bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -6 \\ -6 & 6 }
[/mm]
det A2 [mm] \vmat{ 3-\lambda & -6 \\ -6 & 6-\lambda }
[/mm]
= [mm] (3-\lambda) [/mm] * [mm] (6-\lambda) [/mm] - (-6)*(-6)
= [mm] \lambda^2 -9\lambda [/mm] -18
laut PQ ist die lösung
[mm] \lambda1 [/mm] = [mm] \bruch{9+3\wurzel{17}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda2 [/mm] = [mm] \bruch{9-3\wurzel{17}}{2}
[/mm]
laut Musterlösung kommt da aber :
[mm] \lambda1 [/mm] = 9
[mm] \lambda2 [/mm] = -6
raus und wenn ich das Blatt von meinem Kumpel richtig entziffern kann, hat er oben in der Determinante eine -3 und ich eine 3.
Wo steckt mein Fehler ?
Ein schönes Wochenende
Gruß Rudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Fr 29.05.2015 | | Autor: | abakus |
> Betrachten Sie das Skalarfeld f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + 3x^2y + [mm]3y^2[/mm]
> -6y
>
> Untersuchen Sie das Skalarfeld f auf Extreme mit Hilfe der
> Hesse Matrix.
> Hallo,
>
> ich hatte in einer anderen Aufgabe schon die Nullstellen
> dazu berechnet. Nun komme ich am Ende aber auf ganz andere
> Lösungen als in der Lösung angegeben.
>
> Ich rechne das hier mal durch und vielleicht findet ihr
> meinen Fehler.
>
> Wäre zumindest sehr nett.
>
>
> grad. f(x,y)= [mm]\vektor{3x^2 + 6xy \\ 3x^2 + 6y -6}[/mm]
>
>
>
> Nullstellen:
>
> [mm]3x^2[/mm] + 6xy = 0
> [mm]3x^2[/mm] + 6y -6 = 0
>
>
> x(3x+6y) = 0
>
> x1=0
Jawohl, das ist die erste Möglichkeit dafür, dass die erste Gleichung gilt.
Diese Möglichkeit muss aber auch in der zweiten Gleichung passen. Wenn du x=0 in die zweite Gleichung einsetzt, erhältst du als zwingende Folgerung, dass dann auch y=1 gelten muss.
Dein erstes Lösungspaar ist also (0;1).
>
> 3x+6y=0
>
> y= [mm]-\bruch{3}{6}x[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}x[/mm]
Auch wenn diese Gleichung gilt, hat die erste Gleichung des Systems eine Lösung.
Dann muss dieser Zusammenhang auch in der zweiten Gleichung gelten.
Die zweite Gleichung wird damit zu
3x²-3x-6=0
x²-x-2=0
mit den beiden Möglichkeiten x=-1 und x=2.
Weitere Lösungspaare sind also (wegen y=-0,5x)
(-1;0,5)
und
(2;-1).
DAS sind die drei potenziellen Extrempunkte.
Gruß Abakus
>
>
> einsetzen in 2. gleichung:
>
> [mm]3x^2[/mm] + [mm]6(-\bruch{1}{2}x)[/mm] -6 = 0
>
> klammer auflösen:
>
>
> [mm]3x^2[/mm] -3x -6 = 0
>
> PQ-Formel(nach dividieren durch 3):
>
> x1=0 x2=2 x3=-1
>
> hier habe ich nochmals x1=0 erhalten. das ist ja die
> gleiche die ich vorher auch per ausklammern erhalten habe
> ?!
>
>
> nun nehme ich NICHT irgendeine der beiden ableitungen und
> stelle sie nach y um, sondern die 2. weil ?!?!? die erste
> x=0 enthält ?!? oder warum?
>
> siehe:
>
> [mm]3x^2[/mm] + 6xy = 0
>
> y = [mm]\bruch{-3x^2}{6x}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}x[/mm]
>
>
> damit komme ich NICHT auf die richtigen y-werte, warum auch
> immer
>
>
>
> ich nehme die andere und stelle sie um:
>
> [mm]3x^2[/mm] + 6y -6 = 0
>
>
> => y = [mm]\bruch{-3x^2 +6}{6}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2}x^2[/mm] + 1
>
>
> in diese setze ich nun meine x1-3 ein. und erhalte=
>
> y1=1 y2=-1 [mm]y3=\bruch{3}{2}[/mm]
>
>
> also sind meine punkte an den ich potentielle extrema
> habe.
>
>
> nun benötige ich noch die entsprechenden ableitungen für
> die hesse matrix
>
>
> f''(x,y)xx = 6x+6y
> f''(x,y)yy = 6
> f''(x,y)xy oder yx = 6x
>
>
> Da meine Lösung für 2 von 3 Punkte mit der Musterlösung
> überein stimmt, zeige ich hier nur meine fehlerhafte
> Lösung.
>
>
> Hesse Matrix sieht dementsprechend so aus:
>
> [mm]\pmat{ 6x+6y & 6x \\ 6x & 6 }[/mm]
>
>
>
> (Hess [mm]f)(-1,\bruch{3}{2})[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -6 \\ -6 & 6 }[/mm]
>
>
> det A2 [mm]\vmat{ 3-\lambda & -6 \\ -6 & 6-\lambda }[/mm]
>
> = [mm](3-\lambda)[/mm] * [mm](6-\lambda)[/mm] - (-6)*(-6)
>
> = [mm]\lambda^2 -9\lambda[/mm] -18
>
>
>
> laut PQ ist die lösung
>
> [mm]\lambda1[/mm] = [mm]\bruch{9+3\wurzel{17}}{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda2[/mm] = [mm]\bruch{9-3\wurzel{17}}{2}[/mm]
>
>
>
> laut Musterlösung kommt da aber :
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 9
>
> [mm]\lambda2[/mm] = -6
>
>
> raus und wenn ich das Blatt von meinem Kumpel richtig
> entziffern kann, hat er oben in der Determinante eine -3
> und ich eine 3.
>
> Wo steckt mein Fehler ?
>
>
> Ein schönes Wochenende
>
>
> Gruß Rudi
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und warum muss ich x=0 in die 2. gleichung einsetzen und kann dies nicht in die 1. gleichung einsetzen ?
noch wichtiger ist, du sagst;
Auch wenn diese Gleichung gilt, hat die erste Gleichung des Systems eine Lösung.
Dann muss dieser Zusammenhang auch in der zweiten Gleichung gelten.
Die zweite Gleichung wird damit zu
3x²-3x-6=0
x²-x-2=0
mit den beiden Möglichkeiten x=-1 und x=2.
Weitere Lösungspaare sind also (wegen y=-0,5x)
(-1;0,5)
und
(2;-1).
aber wieso wird die 2. gleichung zu 3x²-3x-6=0 ..v.erstehe ich nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Sa 30.05.2015 | | Autor: | rmix22 |
> und warum muss ich x=0 in die 2. gleichung einsetzen und
> kann dies nicht in die 1. gleichung einsetzen ?
>
Weil du x=0 ja aus der ersten Gleichung erhalten hast. Wenn du das jetzt wieder in die erste Gleichung einsetzt, dann wird da hoffentlich doch 0=0 rauskommen - richtig, aber es bringt uns nicht weiter.
Du hattest ja behauptet, dass du x=0 auch aus der zweiten Gleichung herauslesen kannst, aber das war ja falsch.
Also alles nochmals langsam, dann wird sich auch deine zweite Frage klären.
Du löst hier ein Gleichungssystem in zwei Unbekannten. Wir suchen also Wertepaare (x;y), die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Aus der ersten Gleichung folgt x=0 ODER y=-1/2*x. Das heißt, wenn es kritische Punkte gibt, dann muss für sie ENTWEDER x=0 sein ODER aber y=-1/2*x. Damit ist keinesfalls gesagt, dass etwa jeder Punkt mit x=0 kritische Stelle ist - ja, es ist nicht einmal sicher, dass es überhaupt eine kritische Stelle mit x=0 gibt. Die erste Gleichung ist nun aber ausgereizt, sie hat mit $x=0 [mm] \vee y=-\frac{1}{2}*x$ [/mm] eine notwendige Bedingung für die kritischen Stellen geliefert.
Nun musst du daher mit der zweiten Gleichung weitermachen. Dabei unterscheiden wir nun die einzigen beiden möglichen Fälle x=0 und y=-1/2*x und behandeln sie getrennt.
1. Fall: $x=0$
Einsetzen in die zweite Gleichung
[mm] $3*0^2+6*y-6=0$
[/mm]
führt auf
$y=1$.
Daher ist (0;1) eine Lösung des Gleichungssystems und damit kritische Stelle.
2. Fall: [mm] $y=-\br [/mm] 1 2 *x$
Einsetzen in die zweite Gleichung
[mm] $3*x^2+6*(- \bruch [/mm] 1 2 * x) -6 =0$
(das beantwortet jetzt wohl auch deine zweite Frage)
liefert x=-1 oder x=2 mit den zugehörigen y-Werten +1/2 und -1.
Daher sind auch (-1; 1/2) und (2; -1) kritische Stellen.
Gruß RMix
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