Extrema bei zwei Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die funktion:
f(x,y) = [mm] x^{3}+2x^{2}+\bruch{116}{2}y^{2}+16xy+48y
[/mm]
Bestimmen Sie (falls vorhanden) alle lokalen Extrema der Funktion und entscheiden Sie,
ob es sich um Minima oder Maxima handelt! |
ich hab zunächst mal die partitiellen ableitungen nach x und y gebildet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^{2}+4x+16y [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = 116y+16x+48 =0
mit welchen rechenweg kommt man auf punkte für x und y, die man anschließend mittels zweiter ableitung auf extrema untersucht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Gegeben sei die funktion:
>
> f(x,y) = [mm]x^{3}+2x^{2}+\bruch{116}{2}y^{2}+16xy+48y[/mm]
>
> Bestimmen Sie (falls vorhanden) alle lokalen Extrema der
> Funktion und entscheiden Sie,
> ob es sich um Minima oder Maxima handelt!
> ich hab zunächst mal die partitiellen ableitungen nach x
> und y gebildet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^{2}+4x+16y[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = 116y+16x+48 =0
>
> mit welchen rechenweg kommt man auf punkte für x und y,
> die man anschließend mittels zweiter ableitung auf extrema
> untersucht?
hallo boomchicawa !
An einer solchen Stelle (x,y) im Inneren des Definitionsbe-
reiches, wo ein lokales Extremum vorliegt, müssen diese
beiden partiellen Ableitungen verschwinden. Löse also das
entsprechende Gleichungssystem auf.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
genau bei der auflösung des gleichungssystems komm ich nicht weiter
wenn ich zB die zweite gleichung nach y auflöse und in 1 einsetzte kommen nur ungerade werte raus, die meines achtens nicht passen können
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> genau bei der auflösung des gleichungssystems komm ich
> nicht weiter
>
> wenn ich zB die zweite gleichung nach y auflöse und in 1
> einsetzte kommen nur ungerade werte raus, die meines
> achtens nicht passen können
Warum rechnest Du das nicht vor ? Was sind "ungerade Werte" ?
Was bedeutet "nicht passen" ?
FRED
|
|
|
| |
|
meine weiteren rechenschritte:
Gleichung 2 durch 4 teilen:
--> 29y+4x+12=0
nach y auflösen:
--> y= - [mm] \bruch{4}{29}x-\bruch{12}{29}
[/mm]
einsetzen in gleichung 1 und mit 29 multiplizieren ergibt:
[mm] 87x^{2}+52x-192=0
[/mm]
mit hilfe der lösungsformel komm ich zu folgendem ergebnis:
[mm] x_{1}= [/mm] 1,216473885
[mm] x_{2} [/mm] = -1,814175034
nun die beiden werte in gleichung 1 einsetzten und nach y auflösen:
für [mm] x_{1}: y_{1}= [/mm] -0,581582604
für [mm] x_{2}: y_{2}= [/mm] -0,1635620641
folglich erhalte ich zwei punkte:
[mm] P_{1}(x_{1};y_{1})
[/mm]
[mm] P_{2}(x_{2};y_{2})
[/mm]
die ich dann mittels der zweiten ableitung auf extrema untersuche
leider bin ich mir nicht sicher ob diese "krummen" werte passsen, ist schließlich eine klausuraufgabe
hab mal die probe gemacht und die punkte in gleichung 2 eingesetzt, wodurch die gleichung =0 erfüllt wurde
Sind die beiden punkte die einzigen, für die die beiden gleichungen erfüllt sind, oder gibt es noch mehr?
|
|
|
| |
|
> meine weiteren rechenschritte:
>
> Gleichung 2 durch 4 teilen:
>
> --> 29y+4x+12=0
>
> nach y auflösen:
>
> --> y= - [mm]\bruch{4}{29}x-\bruch{12}{29}[/mm]
>
> einsetzen in gleichung 1 und mit 29 multiplizieren ergibt:
>
>
> [mm]87x^{2}+52x-192=0[/mm]
>
> mit hilfe der lösungsformel komm ich zu folgendem
> ergebnis:
>
> [mm]x_{1}=[/mm] 1,216473885
>
> [mm]x_{2}[/mm] = -1,814175034
>
>
> nun die beiden werte in gleichung 1 einsetzten und nach y
> auflösen:
>
> für [mm]x_{1}: y_{1}=[/mm] -0,581582604
>
> für [mm]x_{2}: y_{2}=[/mm] -0,1635620641
>
>
> folglich erhalte ich zwei punkte:
>
> [mm]P_{1}(x_{1};y_{1})[/mm]
>
> [mm]P_{2}(x_{2};y_{2})[/mm]
>
> die ich dann mittels der zweiten ableitung auf extrema
> untersuche
>
> leider bin ich mir nicht sicher ob diese "krummen" werte
> passsen, ist schließlich eine klausuraufgabe
>
> hab mal die probe gemacht und die punkte in gleichung 2
> eingesetzt, wodurch die gleichung =0 erfüllt wurde
>
> Sind die beiden punkte die einzigen, für die die beiden
> gleichungen erfüllt sind, oder gibt es noch mehr?
Deine Rechnung stimmt und es gibt nur diese beiden
möglichen "Kandidaten" für Extremalstellen.
Ich würde dir aber empfehlen, zu prüfen, ob die
Funktion
[mm] f(x,y)=x^3+2x^2+16x y+58y^2+48y
[/mm]
wirklich korrekt war ! Stimmte z.B. der Faktor [mm] \frac{116}{2} [/mm] ?
LG Al-Chw.
|
|
|
|
