Extrema bei Baumstumpf Aufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 08.06.2010 | | Autor: | Zack24 |
| Aufgabe | Aus einem kreisrunden Baumstamm mit einem Durchmesser von d=60 cm
soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gesägt werden (vgl. Abb).
Wie sind die Maße des Balkens zu wählen, damit die Tragfähigkeit des Balkens maximal ist?
Hinweis: Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach T=k*b*h² wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und h die Höhe des Balkens ist. Für den hier vorliegenden Eichenstamm gilt k -1/6. |
hallo,
Also ich komme wieder mal bei einer Aufgabe nicht weiter.
ich versuche eine Möglichkeit zu finden nur eine Variable in der T Gleichung oben zu haben (also entweder b oder h²).
Bis jetzt habe ich folgenden Gleichungen aufgestellt:
2x=60-h 2x=b+2y-h
2y=60-b 2y=h+2x-b
b=60-2y 60=b+2y
h=60-2x 60=h+2x
h²+b²
------- = 60
2
Außerdem habe ich noch diese Gleichung aufgestellt aber ich weiß nicht mehr wie ich darauf gekommen und ob sie stimmt:
0,5h-x
-------- = 1
0,5b
Ich weiß einfach nicht wie ich eine Variable weg bekomme ><
Achja hier eine Skizze:
http://yfrog.com/jpmatherj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Di 08.06.2010 | | Autor: | chrisno |
> Hinweis: Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach
> T=k*b*h² wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und
> h die Höhe des Balkens ist. Für den hier vorliegenden
> Eichenstamm gilt k -1/6.
> Bis jetzt habe ich folgenden Gleichungen aufgestellt:
> 2x=60-h 2x=b+2y-h
> 2y=60-b 2y=h+2x-b
>
> b=60-2y 60=b+2y
> h=60-2x 60=h+2x
>
nicht nachgerechnet
> h²+b²
> ------- = 60
> 2
Löse dies nach [mm] h^2 [/mm] auf und setze das in T ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 10.06.2010 | | Autor: | Zack24 |
ich hab wieder irgendwo eine Fehler, weil ich für b=0 rausbekomme:
h²=60²-b²
T(x) [mm] =-\bruch{1}{6} [/mm] * b (60²-b²)
T(x) [mm] =-\bruch{1}{6} [/mm] * 60b²-b³
T(x) = -b³-10b²
T'(x) = -3b²-20b
T''(x) = -6b-20
T'(x) := 0
[mm] X_1= [/mm] - [mm] \bruch{20}{3} [/mm]
[mm] X_2=0
[/mm]
T''(- [mm] \bruch{20}{3} [/mm] ) = 20
T''(0) = -20
wenn ich aber 0 jetzt in die Formel setze bekomme ich ja wieder 0 raus ><
T(0)=0
was habe ich falsch gemacht?
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Hallo Zack24,
> ich hab wieder irgendwo eine Fehler, weil ich für b=0
> rausbekomme:
>
> h²=60²-b²
>
> T(x) [mm]=-\bruch{1}{6}[/mm] * b (60²-b²)
> T(x) [mm]=-\bruch{1}{6}[/mm] * 60b²-b³
Hier muss es heißen:
[mm]T\left(x\right)=-\bruch{1}{6}*\left(60^{2}*\red{b}-b^{3}\right)[/mm]
> T(x) = -b³-10b²
>
> T'(x) = -3b²-20b
> T''(x) = -6b-20
>
>
> T'(x) := 0
> [mm]X_1=[/mm] - [mm]\bruch{20}{3}[/mm]
> [mm]X_2=0[/mm]
>
> T''(- [mm]\bruch{20}{3}[/mm] ) = 20
> T''(0) = -20
>
> wenn ich aber 0 jetzt in die Formel setze bekomme ich ja
> wieder 0 raus ><
> T(0)=0
>
> was habe ich falsch gemacht?
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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Hallo Zack!
> h²+b²
> ------- = 60
> 2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst Du auf diese Gleichung? Gemäß dem Herrn Pythagoras, muss es heißen:
[mm] $$h^2+b^2 [/mm] \ = \ [mm] 60^2$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
PS:
> Für den hier vorliegenden Eichenstamm gilt k -1/6.
Das muss aber $k \ = \ [mm] \red{+}\bruch{1}{6}$ [/mm] heißen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Do 10.06.2010 | | Autor: | Zack24 |
stimmt hab den Pythagoras verwechselt bzw. falsch in Erinnerung gehabt.
K ist wirklich -1/6 steht so in der Aufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Do 10.06.2010 | | Autor: | chrisno |
In der Aufgabe ist dann ein Schreibfehler. Nimm k = + 1/6. Du kannst auch k = 1 setzen, also weglassen, weil da keine Einheiten dabei stehen, bloß wird das der Aufgabensteller nicht mögen.
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