Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Di 15.03.2011 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | sei W=(x,y,z)| x>0, y>0 und
f:W--> R, (x,y,z)--> [mm] e^ysin^2x+z^2+cosy.
[/mm]
Wo besitzt g kritieche Punkte, Extrema? |
Hallo Leute!
Habe mit dieser Aufgabe große Probleme. Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Also ich habe bisher die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=e^y2cosxsinx
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=e^ysin^2x-siny
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=2z
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=0 [/mm] gesetzt. Gilt für [mm] x_1=\bruch{k*\pi}{2}, [/mm] für k>0 u. ungerade, [mm] x_2= \pi*k, [/mm] k>0 u. gerade
[mm] x_2:
[/mm]
[mm] 0=e^y*0-siny
[/mm]
[mm] y=k*\pi
[/mm]
kritischer punkt [mm] z_1=( k*\pi, k*\pi, [/mm] 0) für k>0, k gerade
[mm] x_1:
[/mm]
[mm] (\pm e^y) [/mm] -siny=0
[mm] y_1: e^y=siny
[/mm]
[mm] y_2: e^y=-siny
[/mm]
Was leider nicht mehr weiter.
mfg,
Lentio
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Hallo Lentio,
> sei [mm]W=\{(x,y,z)| x>0, y>0\}[/mm] und
> [mm]f:W\to \IR, (x,y,z)\mapsto e^ysin^2x+z^2+cosy.[/mm]
>
> Wo besitzt g kritieche Punkte, Extrema?
> Hallo Leute!
>
> Habe mit dieser Aufgabe große Probleme. Hoffentlich kann
> mir jemand helfen.
>
> Also ich habe bisher die partiellen Ableitungen gebildet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=e^y2cosxsinx[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=e^ysin^2x-siny[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=2z[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=0[/mm] gesetzt. Gilt für
> [mm]x_1=\bruch{k*\pi}{2},[/mm] für k>0 u. ungerade,
Anders geschrieben [mm]x_1=\frac{(2l+1)\pi}{2}[/mm] mit [mm]l\in\IN_0[/mm]
> [mm]x_2= \pi*k,[/mm] k>0 u. gerade
Wieso nur gerade k für die Nullstellen des Sinus?
Das sollte m.E. doch [mm]x_2=k\cdot{}\pi[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm] sein, oder?
Ansonsten richtig!
>
> [mm]x_2:[/mm]
>
> [mm]0=e^y*0-siny[/mm]
> [mm]y=k*\pi[/mm]
Es ist besser, das "k" für y mal anders zu nennen, die k's für x und y können ja verschieden sein ...
> kritischer punkt [mm]z_1=( k*\pi, k*\pi,[/mm] 0) für k>0, k
> gerade
[mm]z_1=(k\pi, \ell\pi, 0)[/mm] mit [mm]k,\ell\in\IN[/mm]
>
> [mm]x_1:[/mm]
>
> [mm](\pm e^y)[/mm] -siny=0
Wieso die beiden Vorzeichen?
Es ist zwar [mm]\sin\left(\frac{2l+1}{2}\pi\right)=\pm 1[/mm], aber im Quadrat doch dann 1
Also [mm]e^y=\sin(y)[/mm]
Diese Gleichung hat für [mm]y>0[/mm] keine (reelle) Lösung!
Dazu kannst du dir zB. mal die Graphen der beiden anschauen, es gibt keine positiven Schnittpunkte.
>
> [mm]y_1: e^y=siny[/mm]
> [mm]y_2: e^y=-siny[/mm]
> Was leider nicht mehr
> weiter.
>
>
> mfg,
>
> Lentio
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 15.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Vielen Dank für die Antwort!
Das mit [mm] sin^2 [/mm] hatte ich total übersehen :o.
Habe jetzt für die Untersuchung der Extrema die Hessenmatrix aufgestellt:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x \partial x}= e^y (-2sin^{2}x +cos^2 [/mm] x)
[mm] \bruch{\partial}{\partial x \partial y}= e^y [/mm] 2cosxsinx
[mm] \bruch{\partial}{\partial y \partial y}= e^y sin^{2}x-cosy
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y \partial x}= e^y [/mm] 2cosxsinx
im Punkt (k [mm] \pi [/mm] , [mm] l*\pi, [/mm] 0) also
[mm] Hess_{k \pi , l*\pi, 0} =\pmat{ e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0&0&2 }
[/mm]
[mm] det(hess)=(e^{l\pi}-\lambda)(\pm 1-\lambda)(2-\lambda)
[/mm]
ICh kann aber leider nicht sagen, ob die Eigenwerte positiv/negativ sind.
mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort!
> Das mit [mm]sin^2[/mm] hatte ich total übersehen :o.
>
> Habe jetzt für die Untersuchung der Extrema die
> Hessenmatrix aufgestellt:
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x \partial x}= e^y (-2sin^{2}x +cos^2[/mm]
> x)
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x \partial y}= e^y[/mm] 2cosxsinx
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y \partial y}= e^y sin^{2}x-cosy[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y \partial x}= e^y[/mm] 2cosxsinx
>
> im Punkt (k [mm]\pi[/mm] , [mm]l*\pi,[/mm] 0) also
>
> [mm]Hess_{k \pi , l*\pi, 0} =\pmat{ e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0&0&2 }[/mm]
>
> [mm]det(hess)=(e^{l\pi}-\lambda)(\pm 1-\lambda)(2-\lambda)[/mm]
> ICh
> kann aber leider nicht sagen, ob die Eigenwerte
> positiv/negativ sind.
>
Es ist doch [mm] e^{l\pi}>0 [/mm] und 2>0 und [mm] $f_{yy}(k \pi,l \pi,0)= [/mm] -cos(l [mm] \pi)=(-1)^{l+1}$
[/mm]
Die Hessematrix hat also für gerades l sowohl pos. als auch neg. Eigenwerte.
Ist l ungerade, so hat die Hessematrix nur positive Eigenwerte.
FRED
>
> mfg,
>
>
> Lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Di 15.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend Einträge negativ, dann EW negativ?
mfg
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Hallo,
> Hallo,
>
>
> kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der
> Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend
> Einträge negativ, dann EW negativ?
Ja, auf der Diagonalen stehen die Eigenwerte doch!
Du hast doch hier eine Dreiecksmatrix.
Da stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen!
Einfach ablesen und die Fälle "ungerade, gerade" abklappern
>
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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Hallo Lentio,
> Hallo,
>
>
> kann man also sagen, dass für pos. Einträge auf der
> Diagonalen die Eigenwerte immer pos. sind? Entsprechend
> Einträge negativ, dann EW negativ?
>
Die Hessematrix lautet doch:
[mm]Hess_{k \pi , l\cdot{}\pi, 0} =\pmat{ \blue{2}*e^{l\pi} & 0&0 \\ 0 &\left(-1\right)^{l+1} & 0 \\ 0&0&2 } $[/mm]
Das ändert aber nichts ander Tatssche, daß es für l ungerade
nur positive, und für l gerade sowohl positive als auch negative
Eigenwerte gibt.
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 15.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Wieso denn das ?
Der Wert in [mm] a_{1,1} [/mm] ergibt sich doch aus der partiellen Ableitung [mm] \bruch{\partial^2}{\partial^2 x} [/mm] mit [mm] x=k\pi [/mm] und [mm] y=l\pi [/mm] , k,l [mm] \in [/mm] N.
[mm] =e^{l\pi}(-2sin^{2}k\pi +cos^{2}k\pi)
[/mm]
[mm] =e^{l\pi}.
[/mm]
Oder ist meine Ableitung falsch?
mfg
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Hallo Lentio,
> Wieso denn das ?
>
> Der Wert in [mm]a_{1,1}[/mm] ergibt sich doch aus der partiellen
> Ableitung [mm]\bruch{\partial^2}{\partial^2 x}[/mm] mit [mm]x=k\pi[/mm] und
> [mm]y=l\pi[/mm] , k,l [mm]\in[/mm] N.
>
> [mm]=e^{l\pi}(-2sin^{2}k\pi +cos^{2}k\pi)[/mm]
> [mm]=e^{l\pi}.[/mm]
>
> Oder ist meine Ableitung falsch?
>
Diese Ableitung ist leider falsch.
Richtig muss sie lauten: [mm]e^{y}(-2sin^{2}\left(x\right) +\red{2}cos^{2}\left(x\right))[/mm]
Demnach an der obigen Stelle:
[mm]e^{l*\pi}( \ -2sin^{2}\left(k*\pi\right) +2cos^{2}\left(k*\pi\right) \ )[/mm]
>
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Di 15.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Stimmt,
danke für den Hinweis!
mfg,
Lentio
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