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| Aufgabe | Eine Tasse Kakao kuehlt pro Minute um 5% der Temperaturdifferenz zwischen der Kakaotemperatur von 85 Grad Celsius und der Raumtemperatur von 20 Grad Celsius ab. Die kalte Sahne kuehlt den Kakao sofort um 8 Grad Celsius ab.
Welche Trinktemperatur hat der Kakao nach 4 und nach 8 Minuten, wenn:
a) Die Sahne sofort hinzugefuegt wird
b) Die Sahne erst nach 4, bzw. 8 Minuten hinzugefuegt wird? |
Schoenen Tag an alle!
So, ich hab zuerst versucht eine Funktionsgleichung aufzustellen und bin nach mehreren Versuchen gescheitert. Das Problem ist die immer aendernde Differenz der Kakao- und Raumtemperatur. Hat hierzu jemand eine Idee?
Sonst habe ich die Aufgabe eben "unelegant" schrittweise geloest, also erst nach einer Minute, dann nach zwei Minuten, nach drei Minuten usw.
a) nach einer Minute: f(x)=85-8-(85-8-20)*0.05=74,15
nach vier Minuten habe ich dann: 66,43 Grad Celsius
nach acht Minuten: 57,82 Grad Celsius
b) nach 4 Minuten: 64,09 Grad Celsius
nach 8 Minuten: 54,42 Grad Celsius
So, ich habe die genauen Rechnungen jetzt nicht aufgefuehrt, wenn das noch noetig ist einfach nachfragen. Mir geht es hier eigentlich eher um die Funktionsgleichung... Kann man ueberhaupt eine aufstellen?
Liebe Gruesse,
milky-way
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Hy, der Name des Themas gibt dir schon einen Hinweis auf cie Lösung.
Du behandelst exponentielle Prozesse...
Du solltest vorher abschätzen, welcher wert verändert sich und welcher bleibt gleich.
Man kann anhand deiner Funktionsgleichung sagen, dass sich alleine die Differenz der Temperatur zwischen Kakao und Raumtemperatur ändert. Sie verringert sich in jeder Minute um 5%!
In der ersten Minute hat die Differenz nur noch 95% der Anfangsdifferenz.
Die Differenz ist:
85-8-20 = 57
95% der Anfangsdifferenz ist:
57 * 0,95 = 54,15 Das ist also die Differenz in der ersten Minute
Die zweite Minute :
57 * 0,95 * 0,95
Die dritte :
57*0,95*0,95*0,95
Jetzt fällt dir auf, dass die Faktoren gleich sind und sich wiederholen...
du kannst also für die dritte Minute schreiben [mm] 57 *0,95^3 [/mm]
Die vierte Minute dürfte jetzt kein Problem mehr sein...
Beachte nur noch, dass du hier die Änderung der Differenz betrachtest, du musst danach die Raumtemperatur wieder addieren.
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Hallo chriskde und alle anderen,
die Funktionsgleichung fuer a) waere also:
[mm] f(x)=(85-20-8)*0,95^x+20
[/mm]
und bei b):
[mm] f(x)=(85-20)*0,95^x+20-8
[/mm]
Richtig so?
Liebe Gruesse,
milky-way
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> Hallo chriskde und alle anderen
Hallo!
> die Funktionsgleichung fuer a) waere also:
> [mm]f(x)=(85-20-8)*0,95^x+20[/mm]
kannst du so stehen lassen. setze halt für die gesuchte 4te Minute und 8te Minute x ein.
> und bei b):
> [mm]f(x)=(85-20)*0,95^x+20-8[/mm]
wäre für den fall, dass die Sahne in der 8ten Minute hinzugefügt wird richtig.
> Richtig so?
Aber wie sieht es mit der Gleichung aus, wenn die Sahne nach 4 Minuten hinzugefügt wird(gemäß der Aufgabenstellung)?
viel spaß
chris
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Hallo!
> Aber wie sieht es mit der Gleichung aus, wenn die Sahne
> nach 4 Minuten hinzugefügt wird(gemäß der
> Aufgabenstellung)?
Wenn man nach 4 min die Sahne hinzufuegt und die Temperatur gleich misst, duerfte [mm] f(x)=(85-20)*0,95^x+20-8 [/mm] doch auch gelten?
Wenn man aber bei 4 min die Sahne hinzufuegt und nach 8 min die Temperatur misst, dann vielleicht so:
[mm] f(x)=((85-20)*0,95^4-8)*0,95^4)+20
[/mm]
ich weiss jetzt nichtt genau, obs stimmt...
Liebe Gruesse,
milky-way
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Fr 10.02.2006 | | Autor: | N1c |
Ich bin mir nicht ganz sicher aber ich glaube es stimmt.gruß n1c
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| Aufgabe | Eine Tasse Kakao kuehlt pro Minute um 5% der Temperaturdifferenz zwischen der Kakaotemperatur von 85 Grad Celsius und der Raumtemperatur von 20 Grad Celsius ab. Die kalte Sahne kuehlt den Kakao sofort um 8 Grad Celsius ab.
Welche Trinktemperatur hat der Kakao nach 4 und nach 8 Minuten, wenn:
a) Die Sahne sofort hinzugefuegt wird
b) Die Sahne erst nach 4, bzw. 8 Minuten hinzugefuegt wird? |
Hallo MR-Mitglieder,
so, mein Ansatz, den ich gepostet habe (und somit auch die Funktionsgleichung) war anscheinend falsch. Nun moechte ich mich an alle mit Interesse wenden:
Findet jemand zu dieser Aufgabe eine Funktionsgleichung?
liebe gruesse,
milky-way
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:07 Fr 10.02.2006 | | Autor: | tathy |
Hallo milky way!
Du hast bei deiner Formel ganz vergessen, dass sich die Kakaotemperatur pro Minute auch verändert. Sie beträgt nur zu Beginn des Prozesses (t=0)
85°C.
Es ist also keine konstante Größe! (die Zimmertemperatur ist dagegen konstant).
Mein Ansatz wäre also:
[mm] B(t)=((K-20)*0,95^{t})-8; [/mm] K: Kakaotemperatur (K=85); t in Min.
[mm] B(t+1)=((B(t)-20)*0,95^{t}
[/mm]
B(t+2)=((B(t+1)...........................
Ich hoffe du kannst mit dieser Formel etwas anfangen  )
Viele Grüße Tathy
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:10 Fr 10.02.2006 | | Autor: | milky-way |
Hallo,
> Du hast bei deiner Formel ganz vergessen, dass sich die
> Kakaotemperatur pro Minute auch verändert. Sie beträgt nur
> zu Beginn des Prozesses (t=0)
> 85°C.
> Es ist also keine konstante Größe! (die Zimmertemperatur
> ist dagegen konstant).
> Mein Ansatz wäre also:
>
> [mm]B(t)=((K-20)*0,95^{t})-8;[/mm] K: Kakaotemperatur (K=85); t in
> Min.
> [mm]B(t+1)=((B(t)-20)*0,95^{t}[/mm]
> B(t+2)=((B(t+1)...........................
Ja, aber in diesem Fall muss ich fuer B(t+2) doch z.B B(t+1) kennen... ich kann also keine zahl direkt aus dem text einsetzen, sondern muss schrittweise rechnen?
> Ich hoffe du kannst mit dieser Formel etwas anfangen )
>
Liebe Gruesse,
milky-way
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Fr 10.02.2006 | | Autor: | tathy |
Hey!
Tut mir leid, aber eine "elegantere" Lösung konnte ich leider nicht finden!
Du musst mt meiner Formel also schrittweise die Lösung ausrechnen.
Vielleicht hat ja noch jemand eine bessere Idee...
Lieber gruß Tathy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Tathy,
In deiner Formel ist ein kleiner Fehler. Für t=0 müsste eigentlich die Anfangstemperatur des Kakaos rauskommen. Hier erhält man aber mit
[mm] B(t)=((K-20)\cdot{}0,95^{t})-8
[/mm]
folgendes:
B(0)=57
was nicht der Anfangstemperatur von 77 entspricht. Außerdem gibtst Du, so wie die Funktion aussieht, erst nach dem t-ten Zeitpunkt die Sahne hinzu. Im Übrigen ist bei dir die Kakaotemperatur K auch eine Konstante.
Schöne Grüße
Denny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Milky-Way,
Eine allgemeine Formel für dein Problem (sowohl für Teil a) als auch für den Teil b)) ist:
[mm] f(t)=\begin{cases} 65\cdot 0,95^{t}+20, & \mbox{für } t < t_{s} \\
[(65\cdot 0,95^{t_{s}}+12)-20]\cdot 0,95^{t-t_{s}}+20, & \mbox{für } t\ge t_{s}\end{cases}
[/mm]
Dabei ist [mm] t_{s} [/mm] der Zeitpunkt, nach dem die Sahne hinzugegeben wurde, d.h. für Aufgabenteil a) wählst du [mm] t_{s}=0 [/mm] und für den anderen Teil [mm] t_{s}=4 [/mm] bzw. [mm] t_{s}=8.
[/mm]
Als Erbegnisse dürftest du dann folgende erhalten:
| f(0) | f(4) | f(8)
a) 77 66,4 57,8
b) 85 64,9 56,6 (Sahne nach 4 Minuten zugegeben)
85 72,9 55,1 (Sahne nach 8 Minuten zugegeben)
Zur Erklärung der Formel:
--------------------------------
Zunächst musst du den Temperaturunterschied betrachten, d.h. am Anfang beträgt der Unterschied 85-20=65 Grad. Der Kakao kühlt nun in jedem Schritt um 5% des vorhergenden Unterschieds ab, d.h. der Temperaturunterschied zu einem Zeitpunkt t ist [mm] 65\cdot 0,95^{t}. [/mm] Da wir jedoch die Temperatur des Kakaos haben wollen, müssen wir noch zu dem Temperaturunterschied die Raumtempertur hinzuaddieren. Damit ergibt sich der obere Teil der Formel. Dieser gilt solange noch keine Sahne hinzugeben wurde.
Für den unteren Teil berechnet der Ausdruck in den runden Klammern die Temperatur des Kakaos, nachdem die Sahne hinzugegeben wurde. Nun müssen wir wieder den Temperaturunterschied zur Umgebungsluft betrachten, d.h. von dem Ausdruck in den runden Klammen müssen wir 20 abziehen. Da der Kakao t Minuten abkühlen soll und bereits [mm] t_{s} [/mm] Minuten abgekühlt ist, verbleiben noch [mm] t-t_{s} [/mm] Minuten zum Abkühlen. Also in den eckigen Klammern befindet sich nun der neue Temperaturunterschied und der Rest ist genau so wie im 1.Fall.
Ich hoffe, du kannst die Formel jetzt nachvollziehen und weißt, wie man sie sich herleitet und anwendet.
Schöne Grüße
Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 So 12.02.2006 | | Autor: | milky-way |
Hallo Denny,
> Eine allgemeine Formel für dein Problem (sowohl für Teil a)
> als auch für den Teil b)) ist:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 65\cdot 0,95^{t}+20, & \mbox{für } t < t_{s} \\
[(65\cdot 0,95^{t_{s}}+12)-20]\cdot 0,95^{t-t_{s}}+20, & \mbox{für } t\ge t_{s}\end{cases}[/mm]
>
> Dabei ist [mm]t_{s}[/mm] der Zeitpunkt, nach dem die Sahne
> hinzugegeben wurde, d.h. für Aufgabenteil a) wählst du
> [mm]t_{s}=0[/mm] und für den anderen Teil [mm]t_{s}=4[/mm] bzw. [mm]t_{s}=8.[/mm]
>
> Als Erbegnisse dürftest du dann folgende erhalten:
> | f(0) | f(4) | f(8)
> a) 77 66,4 57,8
> b) 85 64,9 56,6 (Sahne nach 4 Minuten
> zugegeben)
> 85 72,9 55,1 (Sahne nach 8 Minuten
> zugegeben)
> Zur Erklärung der Formel:
> --------------------------------
> Zunächst musst du den Temperaturunterschied betrachten,
> d.h. am Anfang beträgt der Unterschied 85-20=65 Grad. Der
> Kakao kühlt nun in jedem Schritt um 5% des vorhergenden
> Unterschieds ab, d.h. der Temperaturunterschied zu einem
> Zeitpunkt t ist [mm]65\cdot 0,95^{t}.[/mm] Da wir jedoch die
> Temperatur des Kakaos haben wollen, müssen wir noch zu dem
> Temperaturunterschied die Raumtempertur hinzuaddieren.
> Damit ergibt sich der obere Teil der Formel. Dieser gilt
> solange noch keine Sahne hinzugeben wurde.
>
> Für den unteren Teil berechnet der Ausdruck in den runden
> Klammern die Temperatur des Kakaos, nachdem die Sahne
> hinzugegeben wurde. Nun müssen wir wieder den
> Temperaturunterschied zur Umgebungsluft betrachten, d.h.
> von dem Ausdruck in den runden Klammen müssen wir 20
> abziehen. Da der Kakao t Minuten abkühlen soll und bereits
> [mm]t_{s}[/mm] Minuten abgekühlt ist, verbleiben noch [mm]t-t_{s}[/mm]
> Minuten zum Abkühlen. Also in den eckigen Klammern befindet
> sich nun der neue Temperaturunterschied und der Rest ist
> genau so wie im 1.Fall.
> Ich hoffe, du kannst die Formel jetzt nachvollziehen und
> weißt, wie man sie sich herleitet und anwendet.
Ja klar, dankeschoen. Ich bin mir zwar noch nciht so sicher ob das so hundertpro geht... aber ich denke im Groben und Ganzen schon. DANKE!
Liebe Gruesse,
milky-way
> Schöne Grüße
> Denny
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