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| Aufgabe | Es sei die Lebensdauer eines Geräts exponentialverteilt mit Erwartungswert 2 Jahre.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät zwischen dem 2ten und dem 4ten Jahr ausfällt.
Wenn das Gerät ausfällt, wird es durch ein baugleiches ersetzt.
Wie groß ist die Ws, dass bis zum 4ten Jahr maximal zwei Geräte benötigt wurden? |
Hallo,
einiges allgemeines: Sei X die Lebensdauer des Geräts in Jaren.
Dann gilt [mm] E(X)=\mu=2.
[/mm]
Die Dichtefunktion ist allgemein: [mm] f(x)=\lambda e^{-\lambda x} [/mm] mit [mm] \lambda=\frac{1}{\mu}.
[/mm]
Also hier [mm] \lambda=0,5 [/mm] und [mm] f(x)=0,5e^{-0,5x}.
[/mm]
Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall zwischen dem 2ten und dem 4ten Jahr berechnen will, wie mache ich das.
Wenn man beispielsweise berechnen will, dass das Gerät das erste Jahr nicht ausfällt, dann ist dass ja [mm] P(X>1)=1-P(X\leq 1)=1-\int_{0}^{1}f(x)dx.
[/mm]
Was habe ich jetzt hier. [mm] P(2\leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 4)? Was muss ich rechnen? Einfach [mm] 1-\int_{2}^{4}f(x)dx [/mm] ?
Oder [mm] 1-(P(X\leq 2)+P(X\leq 3)+P(X\leq [/mm] 4))?
Ich denke mal, dass die Wahrscheinlichkeit ja recht hoch sein sollte, wenn der Erwartungswert 2 Jahre ist.
Bei dem zweiten Teil weiß ich leider garnicht, wie ich da rangehen soll, bzw. was ich rechnen muss.
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Hallo,
> Es sei die Lebensdauer eines Geräts exponentialverteilt
> mit Erwartungswert 2 Jahre.
> Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät zwischen
> dem 2ten und dem 4ten Jahr ausfällt.
>
> Wenn das Gerät ausfällt, wird es durch ein baugleiches
> ersetzt.
> Wie groß ist die Ws, dass bis zum 4ten Jahr maximal zwei
> Geräte benötigt wurden?
> Hallo,
>
> einiges allgemeines: Sei X die Lebensdauer des Geräts in
> Jaren.
> Dann gilt [mm]E(X)=\mu=2.[/mm]
> Die Dichtefunktion ist allgemein: [mm]f(x)=\lambda e^{-\lambda x}[/mm]
> mit [mm]\lambda=\frac{1}{\mu}.[/mm]
> Also hier [mm]\lambda=0,5[/mm] und [mm]f(x)=0,5e^{-0,5x}.[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall
> zwischen dem 2ten und dem 4ten Jahr berechnen will, wie
> mache ich das.
> Wenn man beispielsweise berechnen will, dass das Gerät
> das erste Jahr nicht ausfällt, dann ist dass ja
> [mm]P(X>1)=1-P(X\leq 1)=1-\int_{0}^{1}f(x)dx.[/mm]
Genau.
> Was habe ich jetzt hier. [mm]P(2\leq[/mm] X [mm]\leq[/mm] 4)? Was muss ich
> rechnen? Einfach [mm]1-\int_{2}^{4}f(x)dx[/mm] ?
Nein. Du kennst doch die Verteilungsfunktion?
Für x [mm] \ge [/mm] 0 ist:
[mm] $F_{X}(x) [/mm] = [mm] P(X\le [/mm] x) = [mm] 1-e^{-0.5*x}$.
[/mm]
Du willst berechnen:
$P(2 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 4) = [mm] P(X\le [/mm] 4) - P(X [mm] \le [/mm] 2) = [mm] F_{X}(4) [/mm] - [mm] F_{X}(2)$.
[/mm]
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Bei der zweiten weiß ich im Moment leider auch nicht so recht weiter.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo t_sleeper,
wenn ein Gerät ausfällt, wird es sofort durch ein zweites ersetzt. Zwei Geräte benötigt man also, wenn das erste Gerät innerhalb der ersten vier Jahre ausgefallen ist.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:57 Mo 01.02.2010 | | Autor: | T_sleeper |
> Hallo t_sleeper,
> wenn ein Gerät ausfällt, wird es sofort durch ein zweites
> ersetzt. Zwei Geräte benötigt man also, wenn das erste
> Gerät innerhalb der ersten vier Jahre ausgefallen ist.
> Viele Grüße,
> Infinit
Hallo,
es geht aber darum, dass man maximal nur 2 Geräte benötigt werden. Dein Fall schließt ja nicht aus, dass das zweite Gerät noch vor Ablauf des Jahres 4 kaputt geht.
Man muss da also etwas anders ran. Ich hab mir ein paar Gedanken gemacht: [mm] X_1 [/mm] sei die Lebensdauer des ersten Geräts, [mm] X_2 [/mm] die des 2ten. Es sollen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabhängig sein und natürlich ist ihre Dichte die von X.
Dann gilt: [mm] P(\{X_{1}\leq4\}\cap\{X_{2}\leq4\})=P(X_{1}\leq4)P(X_{2}\leq4)=(F_{X}(4))^{2}=(1-e^{-2})^{2}\approx0,75.
[/mm]
Kann das vielleicht richtig sein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Di 02.02.2010 | | Autor: | T_sleeper |
> Man muss da also etwas anders ran. Ich hab mir ein paar
> Gedanken gemacht: [mm]X_1[/mm] sei die Lebensdauer des ersten
> Geräts, [mm]X_2[/mm] die des 2ten. Es sollen [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> unabhängig sein und natürlich ist ihre Dichte die von X.
>
> Dann gilt:
> [mm]P(\{X_{1}\leq4\}\cap\{X_{2}\leq4\})=P(X_{1}\leq4)P(X_{2}\leq4)=(F_{X}(4))^{2}=(1-e^{-2})^{2}\approx0,75.[/mm]
> Kann das vielleicht richtig sein?
Das war natürlich vollkommen falsch. Ich habe jetzt aber einen Weg gefunden wie es richtig geht.
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