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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 28.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Zeigen sie für |x|<1 gilt
|exp(x)-1| [mm] \le \summe_{k=1}^{\infty} |x|^k= \bruch{|x|}{1-|x|} [/mm] |
Hey kann mir hier vllt jemand einen schritt erklären?
|exp(x)-1| = [mm] |(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* x^k)-1|
[/mm]
= [mm] |\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* x^k- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* 0^k [/mm] |
= [mm] |\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* x^k| \le |\summe_{k=0}^{\infty} x^k| \le \summe_{k=0}^{\infty} |x|^k
[/mm]
und wie komme ich jetzt auf
= [mm] \bruch{1}{1-|z|}-1 [/mm] ?
hab mir notiert dass das was mit der geometrischen reihe zu tun hat aber trotzdem weiß ich nicht wie ich dadrauf kommen kann...
wäre für bisschen hilfe dankbar!
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Hallo Peter,
> Zeigen sie für |x|<1 gilt
> |exp(x)-1| [mm]\le \summe_{k=1}^{\infty} |x|^k= \bruch{|x|}{1-|x|}[/mm]
>
> Hey kann mir hier vllt jemand einen schritt erklären?
>
> |exp(x)-1| = [mm]|(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* x^k)-1|[/mm]
>
> = [mm]|\summe^{\infty}_{k=0} \bruch{1}{k!}* x^k- \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}* 0^k[/mm] | ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = [mm]|\summe^{\infty}_{k=\red{0}} \bruch{1}{k!}* x^k| [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das muss doch [mm] $\left|\sum\limits^{\infty}_{k=\red{1}}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k\right|$ [/mm] lauten!
> [mm] \le |\summe_{k=0}^{\infty} x^k| \le \summe_{k=0}^{\infty} |x|^k[/mm]
Wenn du den richtigen Index beachtest, steht da [mm] $...\le\summe^{\infty}_{k=\red{1}} |x|^k$
[/mm]
Bis hierher hast du die Umformungen aber verstanden?
Die sind nämlich weit schwieriger als der letzte Schritt.
Du stehst nur gerade auf dem Schlauch ...
>
> und wie komme ich jetzt auf
> = [mm] $\bruch{1}{1-|\red{z}|}-1$ [/mm] ?
Da sollte der Konsistenz des Ganzen wegen besser [mm] $\red{x}$ [/mm] stehen!
>
> hab mir notiert dass das was mit der geometrischen reihe zu
> tun hat aber trotzdem weiß ich nicht wie ich dadrauf
> kommen kann...
> wäre für bisschen hilfe dankbar!
Na, für $|x|<1$ wie in der Voraussetzung konvergiert die letzte Reihe in deiner Abschätzung, das ist ne geometrische Reihe
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}|x|^k=\frac{1}{1-|x|}$
[/mm]
Die Formel kennst du bestimmt, oder?
Hier geht das Biest aber erst bei $k=1$ und nicht bei $k=0$ los, du musst also vom Wert [mm] $\frac{1}{1-|x|}$ [/mm] noch den Summanden für $k=0$, der ja zuviel ist, abziehen.
Das ist [mm] $|x|^0=1$
[/mm]
Also [mm] $\sum\limits^{\infty}_{k=\red{1}}|x|^k=\frac{1}{1-|x|}-|x|^0=\frac{1}{1-|x|}-1$
[/mm]
[mm] $=\frac{1-(1-|x|)}{1-|x|}=\frac{|x|}{1-|x|}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 29.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke für die antwort aber
nein die formel [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}|x|^k=\frac{1}{1-|x|} [/mm]
kannte ich bis jetzt noch nicht!
kennste vllt irgendeine seite auf der ich mir das ganze nochmal durchlesen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Fr 29.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> danke für die antwort aber
> nein die formel
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}|x|^k=\frac{1}{1-|x|}[/mm]
> kannte ich bis jetzt noch nicht!
Das kann ich nicht glauben !
Vielleicht kennst Du sie inder folgenden Form:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für $|q|<1$
GEOMETRISCHE REIHE
Bei Dir ist $q=|x|$
Sie mal da: http://www.michael-holzapfel.de/themen/grenzwert/geoReihe/geo_Reihe.htm
FRED
> kennste vllt irgendeine seite auf der ich mir das ganze
> nochmal durchlesen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist die geometrische Reihe, die du wahrscheinlich in der Form
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k [/mm] kennst. hier q=|x|
es ist eigentlich fast unmöglich, dass man was mit Reihen macht, und die nicht kennt.
Wenn wirklich nicht guck unter dem namen in wiki
gruss leduart
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