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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 So 20.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Es sei [mm] V:=Mat_{n} (\IR [/mm] ) die Algebra der [mm] (n\times [/mm] n)-Matrizen, d.h. neben der [mm] \IR [/mm] -Vektorraum- Struktur von V betrachten wir auch die multiplikative Struktur, die durch die Matrix- Multiplikation gegeben ist. Für eine Matrix A [mm] \in [/mm] V sei
[mm] A^i [/mm] := A* [mm] \ldots [/mm] *A [mm] \underbrace{A* \ldots *A}_{i Faktoren} [/mm] I>= 1, [mm] A^0 [/mm] := [mm] E_{n} [/mm]
Wir führen die Folge [mm] (v_{k})_{k \in \IN} [/mm] über [mm] v_{k} [/mm] := [mm] \summe_{i=0}^{k} \bruch{A^i }{i!}, k\in \IN [/mm] ein.
a) Zeigen Sie , dass die Folge [mm] (v_{k})_{k \in \IN} [/mm] in der Operatornorm konvergiert.
b) Berechnen Sie die Exponentiale folgender Matrizen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] ; [mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 } a\in \IR; \pmat{ 0 & t \\ -t & 0 } t\in \IR
[/mm]
c) Geben Sie eine [mm] (2\times [/mm] 2)-Matrizen A und B an, für die gilt:
exp(A+B) [mm] \not= [/mm] exp(A)*exp(B) |
a) Ich weiß, wie ich im allgemeinem die Konvergenz nachzuweisen habe, hier liegt mein Problem bei der Definition der Operatornorm. Ein einfaches Beispiel zur Veranschaulichung wäre hier echt toll.
b) Im Prinzip weiß ich wie es geht, ich bin mir nur bei der Lösung nicht sicher und hätte gerne, dass da mal einer rüber schaut.
[mm] exp(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }) [/mm] = 1+ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] exp(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!} [/mm] mit k strebt gegen unendlich
= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!} [/mm] mit k strebt gegen unendlich
= [mm] \pmat{ \summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!} & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1 \\ 0 & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1} =\pmat{ e & e-1 \\ 0 & e-1 }
[/mm]
Der Rest ist hier ja ähnlich. Deswegen soll das nun erstmal hier reichen. Ich bin mir nämlich nicht sicher bei der Zusammenfassung der Summe.
c) Hier muss ich nur noch ein Gegenbeispiel finden, wäre toll wenn mir jemand einen Trick hier verraten könnte, hab nämlich schon viel hin und her gerechnent und bei mir war die immer das "=" erfüllt.
Vielen Dank schon mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 21.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
Kann mir einer sagen, wie ich bei der a) die Konvergenz zu zeigen habe, wenn ich die Operatornorm beachten muss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Kann mir einer sagen, wie ich bei der a) die Konvergenz zu
> zeigen habe, wenn ich die Operatornorm beachten muss
Beachte, dass [mm] $\|A B\| \le \|A\| \cdot \|B\|$ [/mm] ist.
Damit zeige [mm] $\|v_k [/mm] - [mm] v_\ell\| \le \sum_{i=k}^\ell \frac{\|A\|^i}{i!}$. [/mm] Daraus folgt, dass das ganze eine Cauchy-Folge ist, und da $V$ ein endlichdimensionaler [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist (und somit wieder vollstaendig) folgt damit die Konvergenz.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]V:=Mat_{n} (\IR[/mm] ) die Algebra der [mm](n\times[/mm]
> n)-Matrizen, d.h. neben der [mm]\IR[/mm] -Vektorraum- Struktur von V
> betrachten wir auch die multiplikative Struktur, die durch
> die Matrix- Multiplikation gegeben ist. Für eine Matrix A
> [mm]\in[/mm] V sei
> [mm]A^i[/mm] := A* [mm]\ldots[/mm] *A [mm]\underbrace{A* \ldots *A}_{i Faktoren}[/mm]
> I>= 1, [mm]A^0[/mm] := [mm]E_{n}[/mm]
> Wir führen die Folge [mm](v_{k})_{k \in \IN}[/mm] über [mm]v_{k}[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=0}^{k} \bruch{A^i }{i!}, k\in \IN[/mm] ein.
>
> a) Zeigen Sie , dass die Folge [mm](v_{k})_{k \in \IN}[/mm] in der
> Operatornorm konvergiert.
> b) Berechnen Sie die Exponentiale folgender Matrizen:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] ; [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] ; [mm]\pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 } a\in \IR; \pmat{ 0 & t \\ -t & 0 } t\in \IR[/mm]
>
> c) Geben Sie eine [mm](2\times[/mm] 2)-Matrizen A und B an, für die
> gilt:
> exp(A+B) [mm]\not=[/mm] exp(A)*exp(B)
>
>
> a) Ich weiß, wie ich im allgemeinem die Konvergenz
> nachzuweisen habe, hier liegt mein Problem bei der
> Definition der Operatornorm. Ein einfaches Beispiel zur
> Veranschaulichung wäre hier echt toll.
Siehe meine andere Antwort.
> b) Im Prinzip weiß ich wie es geht, ich bin mir nur bei
> der Lösung nicht sicher und hätte gerne, dass da mal
> einer rüber schaut.
>
> [mm]exp(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })[/mm] = 1+ [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] +
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (wenn auch nicht so toll aufgeschrieben)
> [mm]exp(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })[/mm] = 1 + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}{1!}[/mm]
> + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!}[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!}[/mm] mit k strebt gegen
> unendlich
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!}[/mm]
> + ... + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!}[/mm] mit k strebt
> gegen unendlich
Was ist denn [mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }^k$? [/mm] Hast du das mal fuer $k = 2, 3, 4, ...$ ausgerechnet?
> = [mm]\pmat{ \summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!} & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1 \\ 0 & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1} =\pmat{ e & e-1 \\ 0 & e-1 }[/mm]
Es ist voellig unverstaendlich, wie du hierdrauf kommst, wenn du nicht erstmal [mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }^k$ [/mm] ausrechnest und das Ergebnis auch nennst.
Dein Ergebnis stimmt uebrigens nicht; der Eintrag unten rechts stimmt nicht.
> Der Rest ist hier ja ähnlich. Deswegen soll das nun
> erstmal hier reichen. Ich bin mir nämlich nicht sicher bei
> der Zusammenfassung der Summe.
Wenn du hinschreiben wuerdest, wie du sie zusammenfasst, koennten wir dir auch sagen wo das Problem liegt.
> c) Hier muss ich nur noch ein Gegenbeispiel finden, wäre
> toll wenn mir jemand einen Trick hier verraten könnte, hab
> nämlich schon viel hin und her gerechnent und bei mir war
> die immer das "=" erfüllt.
Hast du zwei Matrizen $A$ und $B$ mit $A [mm] \neq [/mm] B$ probiert? Gilt naemlich $A = B$, so kann man zeigen, dass [mm] $\exp(A [/mm] + B) = [mm] \exp(A) \exp(B)$ [/mm] ist.
Nimm doch fuer $A$ etwas wie [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }$ [/mm] und fuer $B$ etwas von der Form [mm] $\pmat{ \ast & \ast \\ 0 & \ast }$. [/mm] Vielleicht kannst du auch etwas aus b) weiterverwenden.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 21.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
> > b) Im Prinzip weiß ich wie es geht, ich bin mir nur bei
> > der Lösung nicht sicher und hätte gerne, dass da mal
> > einer rüber schaut.
> >
> > [mm]exp(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })[/mm] = 1+ [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] +
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> (wenn auch nicht so toll aufgeschrieben)
>
> > [mm]exp(\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })[/mm] = 1 + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}{1!}[/mm]
> > + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!}[/mm] + ... +
> > [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!}[/mm] mit k strebt gegen
> > unendlich
> > = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^2}{2!}[/mm]
> > + ... + [mm]\bruch{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 })^k}{k!}[/mm] mit k strebt
> > gegen unendlich
>
> Was ist denn [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }^k[/mm]? Hast du das mal
> fuer [mm]k = 2, 3, 4, ...[/mm] ausgerechnet?
>
> > = [mm]\pmat{ \summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!} & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1 \\ 0 & (\summe_{i=0}^{k} \bruch{1}{i!})-1} =\pmat{ e & e-1 \\ 0 & e-1 }[/mm]
>
> Es ist voellig unverstaendlich, wie du hierdrauf kommst,
> wenn du nicht erstmal [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }^k[/mm] ausrechnest
> und das Ergebnis auch nennst.
>
> Dein Ergebnis stimmt uebrigens nicht; der Eintrag unten
> rechts stimmt nicht.
>
> > Der Rest ist hier ja ähnlich. Deswegen soll das nun
> > erstmal hier reichen. Ich bin mir nämlich nicht sicher bei
> > der Zusammenfassung der Summe.
>
> Wenn du hinschreiben wuerdest, wie du sie zusammenfasst,
> koennten wir dir auch sagen wo das Problem liegt.
bei b) hab ich die Definition von der Eulerzahl verwendet:
[mm] e^1:= \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}
[/mm]
Weiter weiß ich dass die 2. Matrix hoch n mit n [mm] \not=0 [/mm] bleibt die Matrix.
und bei dem Ergebnis hast du recht, ich meinte eigentlich
[mm] \pmat{ e& e-1 \\ 0& e} [/mm] ist es dann richtig?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Der Rest ist hier ja ähnlich. Deswegen soll das nun
> > > erstmal hier reichen. Ich bin mir nämlich nicht sicher bei
> > > der Zusammenfassung der Summe.
> >
> > Wenn du hinschreiben wuerdest, wie du sie zusammenfasst,
> > koennten wir dir auch sagen wo das Problem liegt.
>
> bei b) hab ich die Definition von der Eulerzahl verwendet:
> [mm]e^1:= \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{i!}[/mm]
Na, das hab ich mir schon gedacht. Nur, wie kommst du z.B. auf das $e - 1$ unten rechts?
> Weiter weiß
> ich dass die 2. Matrix hoch n mit n [mm]\not=0[/mm] bleibt die
> Matrix.
Exakt.
> und bei dem Ergebnis hast du recht, ich meinte eigentlich
> [mm]\pmat{ e& e-1 \\ 0& e}[/mm] ist es dann richtig?
Nein. Also nochmal meine Frage: wie kommst du auf den Eintrag unten rechts?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 21.06.2010 | | Autor: | m0ppel |
Oh man ich stehe heute wohl voll auf dem Schlauch, sry!
Da muss ja eine 1 stehen, weil in der Summe an dieser Stelle 1+0+....+0 steht.
Bin ich jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh man ich stehe heute wohl voll auf dem Schlauch, sry!
> Da muss ja eine 1 stehen, weil in der Summe an dieser
> Stelle 1+0+....+0 steht.
> Bin ich jetzt richtig?
Ja, bist du!
LG Felix
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