Exponentialgleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen für folgende Gleichung an:
[mm] e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x} [/mm] |
Bin mir mit der Lösung nicht 100% sicher...
[mm] e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x}
[/mm]
ln(x) anwenden:
[mm] ln(e^{2x^2+x+x})+ln(4)+ln(e^{x^2-x})=ln(e^{1-3x})
[/mm]
[mm] 2x^2+x+x+x^2-x+ln(4)=1-3x
[/mm]
[mm] 3x^2+3x+ln(4)=0
[/mm]
[mm] x^2+x+\bruch{ln(4)}{3}=0
[/mm]
p/q-Formel:
[mm] x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{ln(4)}{3}}
[/mm]
Und da die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösungen für die Gleichung.
Ist das so richtig?
Besten Gruß,
tedd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo ted,
> Geben Sie alle Lösungen für folgende Gleichung an:
>
> [mm]e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
> Bin mir mit der Lösung nicht 100% sicher...
>
> [mm]e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>
> ln(x) anwenden:
>
> [mm]ln(e^{2x^2+x+x})+ln(4)+ln(e^{x^2-x})=ln(e^{1-3x})[/mm]
>
> [mm]2x^2+x+x+x^2-x+ln(4)=1-3x[/mm]
>
> [mm]3x^2+3x+ln(4)=0[/mm]
>
> [mm]x^2+x+\bruch{ln(4)}{3}=0[/mm]
>
> p/q-Formel:
>
> [mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{ln(4)}{3}}[/mm]
>
> Und da die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösungen für
> die Gleichung.
>
> Ist das so richtig?
Leider nein. So einfach kannst du den Logarithmus nicht anwenden.
[mm] $\ln\left(e^{x^2+2x}+4e^{x^2-x}\right)\neq\ln\left(e^{x^2+2x}\right)+\ln\left(4e^{x^2-x}\right)$
[/mm]
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Bei solchen Aufgaben musst du erst durch geschicktes Umformen ein Produkt erzeugen - dann kannst du den Logarithmus drauf loslassen:
[mm] $\ln(a*b)=\ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
Könnte es sein, dass du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast? Weil so, wie sie dasteht komme ich auch nicht ohne weiteres auf die Lösung...
Liebe Grüße,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ja stimmt!
Das [mm] ln(a+b)\not=ln(a)+ln(b) [/mm] ist habe ich gerade rausgefunden, als du die Antwort schon geschrieben hast :(...
Und dann habe ich die Aufgabe auch noch tatsächlich falsch abgeschrieben.
Sorry!
Es muss richtig heissen:
[mm] e^{2x^2+x+\color{red}1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}
[/mm]
aber beim Produkt formen hatte ich jetzt gerade auch kein Glück.
Ist das ein erster Ansatz?
[mm] e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}
[/mm]
[mm] e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}-e^{1-3x}=0
[/mm]
[mm] e^{x^2}*e^{x^2}*e^x*e^1+4\cdot{}(e^{x^2}*e^{-x})-e^{1}*e^{-3x}=0
[/mm]
Irgendwie krieg ich es grad nicht hin das weiter umzuformen, werde mich gleich aber nochmal dran machen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 28.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Ja stimmt!
> Das [mm]ln(a+b)\not=ln(a)+ln(b)[/mm] ist habe ich gerade
> rausgefunden, als du die Antwort schon geschrieben hast
> :(...
>
> Und dann habe ich die Aufgabe auch noch tatsächlich falsch
> abgeschrieben.
>
> Sorry!
>
> Es muss richtig heissen:
>
> [mm]e^{2x^2+x+\color{red}1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>
> aber beim Produkt formen hatte ich jetzt gerade auch kein
> Glück.
> Ist das ein erster Ansatz?
>
> [mm]e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
> [mm]e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}-e^{1-3x}=0[/mm]
>
> [mm]e^{x^2}*e^{x^2}*e^x*e^1+4\cdot{}(e^{x^2}*e^{-x})-e^{1}*e^{-3x}=0[/mm]
>
> Irgendwie krieg ich es grad nicht hin das weiter
> umzuformen, werde mich gleich aber nochmal dran machen...
Hallo,
man könnte die Gleichung durch [mm] e^{1-3x} [/mm] teilen und erhält
[mm] e^{2x^2+4x}+4*e^{x^2+2x-1}=1
[/mm]
[mm] e^{2x^2+4x}+\bruch{4}{e}*e^{x^2+2x}=1
[/mm]
[mm] (e^{x^2+2x})^2+\bruch{4}{e}*e^{x^2+2x}-1=0
[/mm]
Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass das eine quadratische Gleichung ist.
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
Wie "sieht" man denn sowas? Übung/Erfahrung?
Nunja... :)
[mm] (e^{x^2+2x})^2+\bruch{4}{e}\cdot{}e^{x^2+2x}-1=0
[/mm]
Dann substituiere ich: [mm] e^{x^2+2x}:=z
[/mm]
[mm] z^2+\bruch{4}{e}*z-1=0
[/mm]
p/q-Formel: [mm] z_{1/2}=-\bruch{2}{e}\pm\sqrt{\bruch{4}{e^2}+1}
[/mm]
[mm] z_1\approx0,51
[/mm]
[mm] z_2\approx-1,98
[/mm]
Rücksubstituieren: [mm] z=e^{x^2+2x}
[/mm]
[mm] 0,51=e^{x^2+2x}
[/mm]
[mm] ln(0,51)=x^2+2x
[/mm]
[mm] 0=x^2+2x+0,68
[/mm]
p/q-Formel:
[mm] x_{1/2}=-1\pm\sqrt{1-0,68}
[/mm]
[mm] x_1=-0,44
[/mm]
[mm] x_2=-1,56
[/mm]
und [mm] z_2 [/mm] kann nicht rücksubstituiert werden weil [mm] z_2<0...
[/mm]
;)
Danke für eure Mühe,
besten Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tedd!
Ja, da spielt dann schon etwas Erfahrung mit ...
Deine Rechnung sieht nunmehr gut aus - ich konnte keinen Fehler entdecken.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hey!
Danke für's drüber schauen Loddar!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
tedd
|
|
|
|
