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| Aufgabe | In einem Laborexperiment wird das Wachstum einer Fliegenpopulation untersucht. Erste Ergebnisse sind in der Tabelle dargestellt. Mit wievielen Fliegen ist in 3 Wochen zu rechnen?
Die Lösung ist vorgegeben (es ist eine Beispielaufgabe im Buch, im verstehe aber so manch einen schritt nicht und würde Euch bitten, mit das Ganze zu erklären? )
Gegebene Werte:
3 Tage: 45 Fliegen
8 Tage: 135 Fliegen |
f(3) = 45
f(8) = 135
Aufstellen von 2 Gleichungen:
(1) [mm] a*b^3 [/mm] = 45
(2) [mm] a*b^8 [/mm] = 135
(Bis hierhin ist noch alles klar)
(2) dividiert durch (1) liefert:
[mm] b^5 [/mm] = [mm]\bruch{135}{45}[/mm]
Wachstumsfaktor: b = [mm]\wurzel[5]{\bruch{135}{45}}[/mm] = 1,246
Frage: Warum dividiere ich die 2.Gleichung durch die erste? Wo kommt dann [mm] b^5 [/mm] her??
Nachdem der Wachstumsfaktor ausgerechnet wurde, ergibt sich ein tägliches prozentuales Wachstum von 24,6%.
Um a zu finden, setzt man z.B. in die erste Gleichung den errechneten Wert für b ein:
[mm] a*1,246^3 [/mm] = 45
a= [mm]\bruch{45}{1,246^3} [/mm] = 23,263
f(t) = 23,263 * [mm] 1,246^t
[/mm]
Nachdem dann 21 eingesetzt wurde ergibt sich eine Fliegenanzahl von 2358.
Auch hier ist es klar. Nur eben oben den Teil, warum die 2. Gleichung durch die 1. dividiert wird und warum [mm] b^5 [/mm] rauskommt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
Ich darf doch eine Gleichung als Äquivalenzumformung durch eine feste Zahl dividieren.
Damit gilt:
[mm]a*b^8 \ = \ 135 \ \ \left| \ : 45[/mm]
[mm]\gdw \ \ \ \bruch{a*b^8}{45} \ = \ \bruch{135}{45}[/mm]
Aufgrund der ersten Gleichung weiß ich, dass gilt: [mm]45 \ = \ a*b^3[/mm] .
Dies setze ich links in den Bruch ein.
[mm]\gdw \ \ \ \bruch{a*b^8}{a*b^3} \ = \ \bruch{135}{45}[/mm]
Nun wird links durch [mm]a_[/mm] gekürzt sowie eines der  Potenzgesetze angewandt:
[mm]\gdw \ \ \ \bruch{b^8}{b^3} \ = \ b^{8-3} \ = \ b^5 \ = \ \bruch{135}{45} \ = \ 3[/mm]
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Bei einer medizinischen Untersuchung spritzt ein Arzt 0,3mg eines Farbstoffes in die Bauchspeicheldrüse ein. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse baut in 3 Minuten 18% des Kontrastmittels ab, d.h. in der Bauchspeicheldrüse sind nach 3 Minuten noch 0,3mg * 0,82 = 0,246 mg des Farbstoffes.
a) Den Abbau des farbstoffes kann man mithilfe einer Exponentialfunktion modellieren: t(Zeit in Minuten) --> m(t) = [mm] a*b^t [/mm] (verbleibende Menge in Milligramm)
Bestimme mit hilfe der Tabelle a und b.
Gegebene Werte:
Zeit t in Minuten: 0 ; Menge in mg: 0,3
Zeit t in Minuten: 3; Menge in mg: 0,246
Ich hab nun folgendes gemacht:
f(0) [mm] =a*b^0 [/mm] = 0,3
f(3) = [mm] a*b^3 [/mm] = 0,246
Ergibt auch hier 2 Gleichungen:
(1) [mm] a*b^0 [/mm] = 0,3
(2) [mm] a*b^3 [/mm] = 0,246
Wenn ich jetzt die 2. Gleichung durch die 1. dividieren bekomme ich:
[mm] b^3 [/mm] = [mm]\bruch{0,246}{0,3}[/mm] = 0,82
Eigentlich dachte ich, um jetzt die Abnahme pro Tag feststellen zu können, müsste ich die 3. Wurzel aus 0,82 ziehen, so dass ich b hätte.
Geht aber nicht.
Was ist falsch? |
Danke Loddar!!! Das ist jetzt klar.
Wenn ich mich aber an der obigen Aufgabe versuche, komme ich zu keinem Ergebnis.
Wo ist mein Denkfehler? :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
> Ich hab nun folgendes gemacht:
>
> f(0) [mm]=a*b^0[/mm] = 0,3
> f(3) = [mm]a*b^3[/mm] = 0,246
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mit [mm]b^0 \ = \ 1[/mm] kannst Du hier sogar den Wert für [mm]a_[/mm] direkt ablesen.
> Ergibt auch hier 2 Gleichungen:
>
> (1) [mm]a*b^0[/mm] = 0,3
> (2) [mm]a*b^3[/mm] = 0,246
> Wenn ich jetzt die 2. Gleichung durch die 1. dividieren
> bekomme ich:
>
> [mm]b^3[/mm] = [mm]\bruch{0,246}{0,3}[/mm] = 0,82
> Eigentlich dachte ich, um jetzt die Abnahme pro Tag
> feststellen zu können, müsste ich die 3. Wurzel aus 0,82
> ziehen, so dass ich b hätte.
> Geht aber nicht.
Wieso nicht? Es gilt:
[mm]b \ = \ \wurzel[3]{0{,}82} \ \approx \ 0{,}936[/mm]
Gruß
Loddar
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Ich habe die ganze Zeit eine falsche Taste benutzt :-(
Ok, jetzt klappts auch bei mir.
Ist meine stündliche prozentuale Abnahme dann 6,4% ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
> Ist meine stündliche prozentuale Abnahme dann 6,4% ?
Ja.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mo 06.12.2010 | | Autor: | rotespinne |
JUHU!
Dann rechne ich die Aufgabe nun einmal komplett und stelle sie dann ein :)
DANKE!!!!!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | rotespinne |
So also, ich habe nun folgendes rausbekommen.
Die dazugehörige Exponentialfunktion lautet:
f(t) = [mm] 0,3*0,936^t
[/mm]
Die Abnahme pro Minute beträgt 6,4%.
Folgende Werte habe ich für die Minuten erhalten:
1 Minute: noch 0,2808 mg
2 Minuten: noch 0,263 mg
3 Minuten: noch 0,246 mg
4 Minuten: noch 0,230 mg
5 Minuten: noch 0,216 mg
6 Minuten: noch 0,202 mg
7 Minuten: noch 0,189 mg
8 Minuten: noch 0,177 mg
9 Minuten: noch 0,165 mg
10 Minuten: noch 0,155 mg
Nach 10 Minuten ist also etwas weniger als die Hälfte abgebaut.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
Das stimmt soweit. Aber was war denn die eigentliche Frage?
Solltest Du ermitteln, wann nur noch die Hälfte des Medikamentes vorhanden ist? Dann wäre der korrekte Weg aber ein rechnersicher ... und nicht über die schrittweise Annäherung.
Zu lösen wäre dann folgende Gleichung:
[mm] $\bruch{0{,}300}{2} [/mm] \ = \ [mm] 0{,}300*0{,}936^t$
[/mm]
Diese Gleichung nun nach $t \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:07 Di 07.12.2010 | | Autor: | rotespinne |
Ich sollte mithilfe der gegebenen Paare
0 Minuten = 0,3 mg
und 3 Minuten = 0,246 mg
a und b berechnen. Weitere Frage: "Um wieviel Prozent wird der Farbstoff pro Minute abgebaut?
b) Wieviel Farbstoff ist nach zehn Minuten noch vorhanden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Di 07.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo rotespinne,
na, dann bist Du damit ja jetzt fertig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo rotespinne!
> b) Wieviel Farbstoff ist nach zehn Minuten noch vorhanden?
Dafür hättest Du aber nicht alle Zwischenwerte berechnen müssen. So etwas kostet in einer Prüfung zuviel Zeit.
Gruß
Loddar
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