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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wir haben ein Übungsblatt zu Exponentialfunktionen bekommen und ich habe Probleme mit den Aufgaben. Wäre super, wenn mal jemand drüber gucken könnte.
1) Leiten Sie f zweimal ab und geben Sie eine Stammfunktion an
a) [mm] f(x)=x-x^{e}
[/mm]
f`(x)= [mm] 1-x^{e}
[/mm]
[mm] f``(x)=-x^{e}
[/mm]
F(x)= [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}-e^{x}
[/mm]
b) f(x)= [mm] \bruch{1}{3}*x^{3}-3e^{x}
[/mm]
[mm] f`(x)=x^{2}-e^{x}
[/mm]
[mm] f``(x)=2x-e^{x}
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{12}*x^{4}-e^{x}
[/mm]
c) [mm] f(x)=e^{x}+e^{2x}
[/mm]
f`(x)= [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x}
[/mm]
f``(x)= wie f`(x)
F(x)= ?
d) f(x)= [mm] e^{-2x}
[/mm]
? Auch hier weiß ich nicht, wie ich ableiten muss
e) f(x)= [mm] e^{3x+4}
[/mm]
äußere= 3x+4 => 3
f`(x)= [mm] 3+e^{3x+4}
[/mm]
f``(x)= [mm] e^{3x+4}
[/mm]
Bilden Sie die erste Ableitung:
f(x)= [mm] \bruch{1}{2}+x^{-1}+e^{x}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2}+x [/mm] + [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] f`(x)=\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] f``(x)=e^{x}
[/mm]
Gegeben ist die Funktion f. Bilden Sie mehrere Ableitungen und versuchen Sie damit eine Vermutung zur n-ten ABleitung [mm] f^{(n)}(x) [/mm] und zu einer Stammfunktion F(x) aufzustellen
[mm] f(x)=x+e^{-x}
[/mm]
f`(x)=1+ [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] f``(x)=e^{-x}
[/mm]
[mm] f```(x)=e^{-x}
[/mm]
Ich würde sagen, dass die Ableitungen von [mm] e^{-x} [/mm]
immer gleich sind...
Aber was hat das mit der Stammfunktion zu tun?
Liebe Grüße,
Sarah 
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> > > b) f(x)= [mm]\bruch{1}{3}*x^{3}-3e^{x}[/mm]
> > > [mm]f'(x)=x^{2}-e^{x}[/mm]
> > > [mm]f''(x)=2x-e^{x}[/mm]
> > > [mm]F(x)=\bruch{1}{12}*x^{4}-e^{x}[/mm]
> >
> > ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du jeweils beim hinteren Term den Faktor
> > [mm]3_[/mm] vergessen.
>
> Ich dachte, die 3 würde wegfallen.
Die 3 fällt nicht weg, da sie eine beliebige Konstante ist und laut Konstantenregel gilt: f(x)=k*g(x) <=> f'(x)=k*g'(x)
Demzufolge lautet die Ableitung:
[mm]f'(x)=x^{2}-3e^{x}[/mm]
Die 3 fällt nur beim ersten Glied weg, da 3*1/3 eben 1 ergibt, aber die 1/3 gelten ja nicht mehr für die e-Funktion
> > > c) [mm]f(x)=e^{x}+e^{2x}[/mm]
> > > f'(x)= [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}[/mm]
> > > f''(x)= wie f'(x)
> >
> > Für [mm]e^{\red{2}*x}[/mm] musst Du die  Kettenregel
> > anwenden zu: [mm]e^{2*x}*2[/mm] .
>
> Okay, also
>
> f'(x)= [mm]e^{x}[/mm] + [mm]2*e^{2x}[/mm]
Das stimmt!
> [mm]f''(x)=e^{x}[/mm] + [mm]4+e^{2x}[/mm]
Das stimmt leider nicht mehr, es sei, du hast dich verschrieben, wovon ich ausgehen möchte :)
[mm]f''(x)=e^{x}[/mm] + [mm]4 \red * e^{2x}[/mm]
> > > d) f(x)= [mm]e^{-2x}[/mm]
> > > ? Auch hier weiß ich nicht, wie ich ableiten muss
> >
> > Wie eben mittels Kettenregel .
>
> f'(x)= [mm]-2*e^{-2x}[/mm]
Stimmt!
> [mm]f''(x)=4+e^{-2x}[/mm]
Offenbar doch kein Schreibfehler, wie kommst du auf [mm] \red [/mm] +?? Die Kettenregel geht immer mit Multiplikation! ^^
[mm]f''(x)=4\red *e^{-2x}[/mm]
> Stimmen die Aufgaben nun?
>
>
> Liebe Grüße,
> Sarah
Jetzt sollte alles stimmen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sarah
> Wie bildet man die Stammfunktionen? Beispielsweise von der
> c)
>
> [mm]f(x)=e^{x}+e^{2x}[/mm]
> [mm]F(x)=e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}?[/mm]
Da du das mit der Kettenregel bei den vorigen Aufgaben ja verstanden hast, kannst du deine Ergebnisse immer mit ableiten kontrollieren und da siehst du dann
[mm] F'(x)\ne [/mm] f(x) und siehst sicher auch, welcher Faktor in der Stammfkt vor [mm] e^{2x} [/mm] gehört. Ausserdem hat die Stammfkt immer noch ne Konstante addiert.
Gruss leduart
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Sorry ich habe eben gesehen, dass mein Vorgänger noch nicht einmal zu allen Fehlern etwas geschrieben hatte, also muss ich erstmal zu dem Rest noch was sagen, oki? ^^
> e) f(x)= $ [mm] e^{3x+4} [/mm] $
> äußere= 3x+4 => 3
> f'(x)= $ [mm] 3+e^{3x+4} [/mm] $
> f''(x)= [mm] $\red0*e^{3x+4} [/mm] $
Das ist leider bei der ersten Ableitung wieder falsch, bzw * statt +
Bei der zweiten Ableitung jedoch hast du irgendwie wohl mit 1/3 gerechnet, richtig wäre:
f''(x)= $ [mm] \green9*e^{3x+4} [/mm] $
Es kommen ja noch einmal *3 zu den 3*f'(x) hinzu
> Bilden Sie die erste Ableitung:
> f(x)= $ [mm] \bruch{1}{2}+x^{-1}+e^{x} [/mm] $
> = - $ [mm] \bruch{1}{2}+x [/mm] $ + $ [mm] e^{x} [/mm] $
> $ [mm] f'(x)=\bruch{1}{2} [/mm] $ + $ [mm] e^{x} [/mm] $
Leider auch falsch, da 1/2 nicht abgeleitet wird, bzw. deine Umformung von f(x) ist schon fehlerhaft:
f(x)= [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{x}+e^x
[/mm]
f'(x)= [mm] -\bruch{1}{x^2}+e^x [/mm]
> Gegeben ist die Funktion f. Bilden Sie mehrere Ableitungen und versuchen
> Sie damit eine Vermutung zur n-ten ABleitung $ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] $ und zu einer > Stammfunktion F(x) aufzustellen
> $ [mm] f(x)=x+e^{-x} [/mm] $
> [mm] f'(x)=1\red [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm]
Leider schon falsch, es muss ein - sein! Die innere Ableitung von -x ist nämlich -1!
[mm]f'(x)=1 \green- e^{-x} [/mm]
> $ [mm] f''(x)=e^{-x} [/mm] $
richtig, da das Minus sich hier aufhebt
> $ [mm] f'''(x)=e^{-x} [/mm] $
[mm]f'''(x)=- e^{-x} [/mm]
Offensichtlich sind also alle geraden Ableitungen [mm] +e^{-x} [/mm] und alle ungeraden Ableitungen [mm] -e^{-x}
[/mm]
Demzufolge würde ich sagen, die n-te Ableitung ist für gerade + und für ungerade Exponenten -
Nun endlich zu deiner letzten Frage ^^:
> Wie bildet man die Stammfunktionen? Beispielsweise von der c)
> $ [mm] f(x)=e^{x}+e^{2x} [/mm] $
> $ [mm] F(x)=e^{x} [/mm] $ + $ [mm] e^{2x}? [/mm] $
Allgemein gilt erst einmal, dass du die Summanden einer Summe etc. getrennt integrieren kannst, wie du sie ja auch getrennt differenzierst, also gilt erst einmal
[mm] F(x)= \int f(x)\,dx =\int e^{x}+e^{2x}\,dx = \int e^{x}\,dx + \int e^{2x}\,dx
[/mm]
So, nun muss man überlegen, dass F(x) als Stammfunktion abgeleitet ja immer f(x) geben muss. Dein Ansatz mit [mm] e^x [/mm] ist für den ersten Summanden richtig, für den zweiten jedoch nicht, denn [mm] e^{2x} [/mm] würde abgeleitet ja [mm] 2e^{2x} [/mm] ergeben, es muss aber [mm] e^{2x} [/mm] rauskommen, daher muss bei der Stammfunktion der Vorfaktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stehen, um das *2 der Ableitung aufzuheben ^^
[mm] \int e^{x}\,dx + \int e^{2x}\,dx = e^x + \bruch{1}{2}*e^{2x} + C
[/mm]
Hoffe, du hast das Prinzip verstanden, allgemein kann man sagen, dass beim Integrieren der Faktor a vor dem x eliminiert werden muss, da er sonst beim Ableiten zuviel wäre
Bsp: [mm]
f(x)=e^{ax}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{1}{a}*e^{ax}[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das stimmt, wenn Du in der Ausgangsfunktion auch wirklich [mm] $e^x$ [/mm] meinst (und nicht umgekehrt [mm] $x^e$ [/mm] ).
Bei mir liegen + und * auf der selben Taste, da passieren manchmal schonmal solche Fehler...
