Exponentialfunktion Majorante < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe in einem Skript folgende "Aussage" gelesen:
Die Konvergenz der Trigonometrischen Funktionen folgt aus der Tatsache, dass die Exponentialfunktion eine Majorante ist, z.B.:
cos(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} ((-1)^n/(2n)!)x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (c_n/n!)x^n [/mm] mit [mm] c_n\in\{-1,0,1\}
[/mm]
Was mich verwirrt ist vor allem das letzte Gleichheitszeichen, denn
cos(x) = [mm] 1-x²/2!+x^4/4!-...
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (c_n/n!)x^n [/mm] mit [mm] c_n\in\{-1,0,1\} [/mm] = [mm] (c_1)*x [/mm] + [mm] (c_2*x²)/2! +(c_3*x³)/3!+...
[/mm]
Ist das beides gleich? Und muss man überhaupt [mm] c_n [/mm] nutzen, würde es nicht ausreichen wenn man [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (1/n!)x^n [/mm] als Majorante für cos(x) nutzt?
Liebe Grüße
sommersonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Sa 23.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> ich habe in einem Skript folgende "Aussage" gelesen:
> Die Konvergenz der Trigonometrischen Funktionen folgt aus
> der Tatsache, dass die Exponentialfunktion eine Majorante
> ist, z.B.:
> cos(x) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} ((-1)^n/(2n)!)x^{2n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (c_n/n!)x^n[/mm] mit [mm]c_n\in\{-1,0,1\}[/mm]
>
> Was mich verwirrt ist vor allem das letzte
> Gleichheitszeichen, denn
> cos(x) = [mm]1-x²/2!+x^4/4!-...[/mm]
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (c_n/n!)x^n[/mm] mit [mm]c_n\in\{-1,0,1\}[/mm] =
> [mm](c_1)*x[/mm] + [mm](c_2*x²)/2! +(c_3*x³)/3!+...[/mm]
>
Hast [mm] c_0 [/mm] vergessen.
> Ist das beides gleich?
Wenn man die [mm] c_n [/mm] entsprechend wählt, dann ja.
> Und muss man überhaupt [mm]c_n[/mm] nutzen,
> würde es nicht ausreichen wenn man [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (1/n!)x^n[/mm]
> als Majorante für cos(x) nutzt?
>
Ja, würde ausreichen.
Aber allg. gilt diese Abschätzung (so wie ich sehe) nur für x [mm] \ge [/mm] 0 (da für negative x ja cos(x) auch mal größer exp(x) wird). Oder zumindest muss man in diesem Falle aufpassen, dass man alles richtig macht.
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> Liebe Grüße
> sommersonne
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