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| Aufgabe | In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass
exp(1) = e und exp(x + y) = exp(x) * exp(y)
für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt. Leiten Sie daraus ab:
exp(n) = [mm] e^{n} [/mm] und [mm] exp(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
für alle natürlichen Zahlen n. |
Also bei der Formel exp(n) = [mm] e^{n} [/mm] hab ich mir gedacht, ich könnte hier das per Induktion nachweisen. Klappt eigentlich auch ganz gut:
Induktionsanfang: exp(1) = e
Induktionsvorraussetzung:
exp(n) = [mm] e^{n} [/mm] => exp(n + 1) = [mm] e^{n + 1}
[/mm]
Induktionsschritt:
exp(n + 1) = exp(n= * exp(1) = [mm] e^{n} [/mm] * e = [mm] e^{n + 1}
[/mm]
Damit wär das bewiesen.
Doch beim zweiten Teil weiß ich schon nicht mehr weiter. Ich hab mir auch gedacht das per Induktion zu beweisen, doch ich wüsste nicht, wie ich das beweisen soll.
Ich hätte da die Induktionsvorraussetzung:
[mm] exp(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{n}} [/mm] => [mm] exp(\bruch{1}{n + 1}) [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{n + 1}}
[/mm]
doch wie mach ich dann jetzt weiter... ?
Habt ihr ein paar Denkanstöße ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass
>
> exp(1) = e und exp(x + y) = exp(x) * exp(y)
>
> für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] gilt. Leiten Sie daraus ab:
>
> exp(n) = [mm]e^{n}[/mm] und [mm]exp(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> für alle natürlichen Zahlen n.
>
> Also bei der Formel exp(n) = [mm]e^{n}[/mm] hab ich mir gedacht,
> ich könnte hier das per Induktion nachweisen. Klappt
> eigentlich auch ganz gut:
>
> Induktionsanfang: exp(1) = e
>
> Induktionsvorraussetzung:
>
> exp(n) = [mm]e^{n}[/mm] => exp(n + 1) = [mm]e^{n + 1}[/mm]
Das ist nicht die Induktionsvoraussetzung. Die Induktionsvoraussetzung ist [mm] "$\exp(n) [/mm] = [mm] e^n$". [/mm] Was du hingeschrieben hast ist das, was du beim Induktionsschritt beweisen musst.
> Induktionsschritt:
>
> exp(n + 1) = exp(n= * exp(1) = [mm]e^{n}[/mm] * e = [mm]e^{n + 1}[/mm]
>
> Damit wär das bewiesen.
Genau.
> Doch beim zweiten Teil weiß ich schon nicht mehr weiter.
> Ich hab mir auch gedacht das per Induktion zu beweisen,
> doch ich wüsste nicht, wie ich das beweisen soll.
>
> Ich hätte da die Induktionsvorraussetzung:
>
> [mm]exp(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{n}}[/mm] => [mm]exp(\bruch{1}{n + 1})[/mm]
> = [mm]e^{\bruch{1}{n + 1}}[/mm]
>
> doch wie mach ich dann jetzt weiter... ?
> Habt ihr ein paar Denkanstöße ?
Nun, warum zeigst du nicht, dass [mm] $\exp(1/n)$ [/mm] die positive $n$-te Wurzel von $e$ ist?
Da es genau eine solche positive Wurzel gibt, folgt dann [mm] $\exp(1/n) [/mm] = [mm] e^{1/n}$.
[/mm]
LG Felix
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