Exponentialfunktion - 2 Punkte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 10.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
| Aufgabe | Der Graph der Exponentialfunktion f mit [mm]f(x)=c * a^x[/mm] geht durch die Punkte P und Q.
Berechenen Sie c und a.
P(1/1), Q(2/2) |
So ich habe jetzt mal versucht diese Aufgabe zu lösen:
P(1/1)
[mm]f(x)=c * a^x[/mm]
[mm]f(1)=c * a^1=1[/mm]
und Q(2/2)
[mm]f(x)=c * a^x[/mm]
[mm]f(2)=c* a^2=2[/mm]
Und hier hackt es jetzt schon bei mir. Also ich weiss nicht wie ich jetzt weitervorgehen sollte. Viellicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen, wäre sehr nett..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 10.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Quaeck,
was gibt denn alles 1 ?
[mm] \bruch{8}{8}=1
[/mm]
[mm] \bruch{3}{3}=1
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{\pi}=1
[/mm]
reicht dir das?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Di 10.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Also deine Antwort bezieht sich jetzt bestimmt auf die zwei gleichen X und Y Punkte, doch meine Frage geht eher in Richtung Rechnungsweg, denn ich habe in meinem Buch noch andere Aufgaben, wobei leider keine Punkte P(2/2) und Q(1/1), so "homolog" vorhanden sind..
Danke für deine Antwort, aber wenn du mich so fragst reicht mir das für mein Verständnis noch nicht. Doch vieleicht hab ich deine Antwort auch falsch verstanden..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Di 10.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Also deine Antwort bezieht sich jetzt bestimmt auf die zwei
> gleichen X und Y Punkte, doch meine Frage geht eher in
> Richtung Rechnungsweg, denn ich habe in meinem Buch noch
> andere Aufgaben, wobei leider keine Punkte P(2/2) und
> Q(1/1), so "homolog" vorhanden sind..
> Danke für deine Antwort, aber wenn du mich so fragst
> reicht mir das für mein Verständnis noch nicht. Doch
> vieleicht hab ich deine Antwort auch falsch verstanden..?
ok. genauer:
du suchst a und c und du weißt dass [mm] \bruch{a}{a}=1 [/mm] ist;
dann muss [mm] c*a^1=c*a=\bruch{a}{a}=1 [/mm] sein [Hinweis: P(1|1)] und das heißt [mm] c=\bruch{1}{a}
[/mm]
wenn du das nun in die zweite Gleichung einsetzt, kannst du a ermitteln und daraus dann c.
so besser?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Di 10.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Ja, das ist viel besser, damit kann ich weiter arbeiten. Dankeschön! =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Ich muss nochmal was los werden, dass bei meinen Rechnungen herausgekommen ist und das mir ein bisschen unschlüssig ist.
Also ich habe das jetzt mal persönlich nach meinem Verständnis folgender Maßen ausgerechnet:
P (1/1)
[mm]f(x)=c * a^x[/mm]
[mm]f(1)=c \cdot{} a^1=1[/mm]
[mm]c * a^1=1 | :a[/mm]
[mm]c= \bruch{1}{a}[/mm]
Q (2/2)
[mm]f(x)=c * a^x[/mm]
[mm]f(2)=c \cdot{} a^2=2[/mm]
[mm]c \cdot{} a^2=2[/mm]
[mm](\bruch{1}{a}) * a^2=2[/mm]
[mm]a^-^1 * a^2=2[/mm]
[mm]a^1=2[/mm]
So sieht meine Exponentialfunktion nun aus..
[mm]f(x)= \bruch{1}{2} * 2^x[/mm]
Doch den Lösungsweg den wir auf einem Zettel ausgeteilt bekamen ist folgende Lösung zu finden:
P (1/1) , Q (2/2) , [mm]f(x)=c * a^x[/mm]
[mm]f(1)=c \cdot{} a^1=1[/mm]
[mm]f(2)=c \cdot{} a^2=2[/mm]
------------------------------------------
[mm] a^2^-^1=2-1[/mm]
[mm] a^1 =1[/mm]
Q -> [mm]f(1)=c \cdot{} 1^2=2[/mm]
[mm]c * 1=2[/mm]
[mm]c =2[/mm]
Exponentialfunktion: [mm]f(x)= 2 * 1^x[/mm]
Welche Lösung ist jetzt richtig?
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Hallo Quaeck!
> Ich muss nochmal was los werden, dass bei meinen Rechnungen
> herausgekommen ist und das mir ein bisschen unschlüssig
> ist.
>
> Also ich habe das jetzt mal persönlich nach meinem
> Verständnis folgender Maßen ausgerechnet:
>
> P (1/1)
> [mm]f(x)=c * a^x[/mm]
> [mm]f(1)=c \cdot{} a^1=1[/mm]
>
> [mm]c * a^1=1 | :a[/mm]
> [mm]c= \bruch{1}{a}[/mm]
>
>
> Q (2/2)
> [mm]f(x)=c * a^x[/mm]
> [mm]f(2)=c \cdot{} a^2=2[/mm]
>
> [mm]c \cdot{} a^2=2[/mm]
> [mm](\bruch{1}{a}) * a^2=2[/mm]
> [mm]a^-^1 * a^2=2[/mm]
>
> [mm]a^1=2[/mm]
>
> So sieht meine Exponentialfunktion nun aus..
> [mm]f(x)= \bruch{1}{2} * 2^x[/mm]
>
>
> Doch den Lösungsweg den wir auf einem Zettel ausgeteilt
> bekamen ist folgende Lösung zu finden:
>
> P (1/1) , Q (2/2) , [mm]f(x)=c * a^x[/mm]
> [mm]f(1)=c \cdot{} a^1=1[/mm]
>
> [mm]f(2)=c \cdot{} a^2=2[/mm]
>
> ------------------------------------------
> [mm]a^2^-^1=\red{2-1}[/mm]
> [mm]a^1 =1[/mm]
>
> Q -> [mm]f(1)=c \cdot{} 1^2=2[/mm]
> [mm]c * 1=2[/mm]
> [mm]c =2[/mm]
>
> Exponentialfunktion: [mm]f(x)= 2 * 1^x[/mm]
>
> Welche Lösung ist jetzt richtig?
Setz doch mal die gegebenen Punkte P und Q in die beiden vermeintlichen Lösungen ein und du wirst sehen, welche davon die richtige ist: die richtige Lösung erzeugt nämlich beim einsetzen der Punkte jedes mal eine wahre Aussage.
Um es kurz zu machen: dort wo ich [mm] \red{rot} [/mm] makiert habe ist ein gravierender Fehler aufgetreten. So wie es scheint wurden, um auf diese Gleichung zu kommen, die beiden Gleichungen miteinander dividiert (was durchaus zulässig ist, da sich dann das c rauskürzen lässt). Allerdings sollte man dann auch auf beiden Seiten dividieren und nich nur auf einer. Der Fehler besteht also darin, daß die linken Seiten der Gleichungen dividiert, die rechten Seiten jedoch subtrahiert wurden.
Deine Lösung ist somit richtig, die auf dem ausgeteilten Zettel ist falsch.
Gruß,
Tommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 11.10.2006 | | Autor: | smarty |
Hallo,
eure Lösung ist richtig - Mist, ich war zu langsam, weil ich gerade mit den Blöcken gespielt habe ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
guck mal, die Lösung auf dem Zettel geht gar nicht durch P(1|1)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Smarty
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Quaeck |
Hi VNV_Tommy, hi smarty
Dankeschön für eure Mühe.
Die Lösungen auf meinem Zettel sind allerdings von Schülern wie ich das gerade festgestellt habe, also das wird dann warscheinlich in der nächsten Mathestd. berichtigt werden.
Nochmals danke. =)
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