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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:03 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier nun ein paar Aufgaben zur Exponentialfunktion:
a) Sei [mm] x\ge [/mm] 1 eine reelle Zahl. Man zeige, dass die Reihe
[mm] s(x):=\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{x\\n}
[/mm]
absolut konvergiert.
Ich habe es zuerst mit dem Quotientenkrierium versucht, aber da kam ich nicht weiter. Dann habe ich mir gedacht, dass [mm] \vektor{x\\n} [/mm] ja immer positiv ist, und damit die Reihe auch absolut konvergiert, wenn sie überhaupt konvergiert. Stimmt dieser Gedanke? Allerdings weiß ich dann auch nicht, wie ich die Konvergenz zeigen soll.
Kann mir bitte jemand nur den Ansatz hierfür geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
So, nun Aufgabenteil b):
Man beweise für [mm] x,y,\ge [/mm] 1 die Funktionalgleichung s(x+y)=s(x)s(y).
Hier habe ich zuerst versucht, das einfach alles einzusetzen und umzuformen, aber irgendwie hab' ichs nicht hinbekommen. Dann habe ich gedacht, vielleicht kann ich ja den Satz vom Cauchy-Produkt über Reihen anwenden, aber das hat mir irgendwie auch nicht geholfen. Hat jemand nur einen Ansatz für mich?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Das geht in der Tat mir dem Cauchy-Produkt. Zuletzt hatte ich dir ja den Beweis von
[mm] $\sum\limits_{k=0}^n [/mm] {x [mm] \choose [/mm] {n-k}} [mm] \cdot [/mm] {y [mm] \choose [/mm] k} = {{x+y} [mm] \choose [/mm] n}$
vorgerechnet (Hattest du den eigentlich gesehen? Es kam nämlich keine Reaktion darauf...).
Nach dem Cauchy-Produkt gilt nun
$s(x)s(y) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n$
[/mm]
mit
[mm] $c_n [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n [/mm] {x [mm] \choose [/mm] {n-k}} [mm] \cdot [/mm] {y [mm] \choose [/mm] k} = {{x+y} [mm] \choose [/mm] n}$,
also:
$s(x)s(y) = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} [/mm] {{x+y} [mm] \choose [/mm] n} = s(x+y)$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Di 02.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Das geht in der Tat mir dem Cauchy-Produkt. Zuletzt hatte
> ich dir ja den Beweis von
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^n {x \choose {n-k}} \cdot {y \choose k} = {{x+y} \choose n}[/mm]
>
> vorgerechnet (Hattest du den eigentlich gesehen? Es kam
> nämlich keine Reaktion darauf...).
Nein, ich glaube nicht, und ich weiß im Moment auch gar nicht, bei welcher Aufgabe das gewesen sein könnte. Kannst du mir da mal einen Hinweis geben? (Wird Zeit, dass es wieder e-Mail Benachrichtigungen gibt...)
> Nach dem Cauchy-Produkt gilt nun
>
> [mm]s(x)s(y) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n[/mm]
>
> mit
>
> [mm]c_n = \sum\limits_{k=0}^n {x \choose {n-k}} \cdot {y \choose k} = {{x+y} \choose n}[/mm],
>
> also:
>
> [mm]s(x)s(y) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} {{x+y} \choose n} = s(x+y)[/mm].
Aber wieso gilt denn [mm] \vektor{x\\n}+\vektor{y\\n}=\vektor{x+y\\n}? [/mm] Das wusste ich noch nicht, und ganz offensichtlich finde ich das nicht.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Di 02.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
>> Nein, ich glaube nicht, und ich weiß im Moment auch gar
> nicht, bei welcher Aufgabe das gewesen sein könnte. Kannst
> du mir da mal einen Hinweis geben? (Wird Zeit, dass es
> wieder e-Mail Benachrichtigungen gibt...)
Hier:
https://matheraum.de/read?i=83687
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
So, und nun Teil c):
Man berechne [mm] s(n+\bruch{1}{2}) [/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge [/mm] 1.
Ich hab' mir gedacht, ich könnte ja Teil b anwenden, dann hätte ich:
[mm] s(n+\bruch{1}{2}) =s(n)s(\bruch{1}{2})
[/mm]
Da könnte ich dann zwar den ersten Teil mit dem binomischen Lehrsatz berechnen, aber was ist denn [mm] \bruch{1}{2}!? [/mm] Das ist doch gar nicht definiert, oder?
Hat jemand nur einen Ansatz für mich?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Diese Aufgabe sollte jetzt kein Problem mehr darstellen, nachdem Hanno ja bereits gesagt hat, dass allgemein für $x>-1$ gilt:
$s(x) = [mm] 2^x$.
[/mm]
Diese Beziehung beweist man allerdings über die Taylorreihe, die zu dem Zeitpunkt der Vorlesung (wohl?) noch kein Thema war.
Man kann aber so mit Hilfe der Funktionalgleichung aus b) argumentieren:
[mm] $s\left( n + \frac{1}{2} \right)^2 [/mm] = [mm] s\left( 2 \cdot\left( n + \frac{1}{2} \right) \right) [/mm] = s(2n+1) = [mm] 2^{2n+1}$.
[/mm]
(Denn für natürliche [mm] $n\in \IN$ [/mm] sieht man direkt ein, dass [mm] $s(n)=2^n$ [/mm] ist, denn dies ist ja gerade der ganz gewöhnliche Binomische Lehrsatz.)
Jetzt muss man sich "nur" noch überlegen, dass $s(x)>0$ ist für $x [mm] \ge [/mm] 1$ (ist auf elementarem Weg nicht so einfach, und ich denke es lohnt sich nicht für die Prüfung sich den Beweis zu überlegen...), und dann erhält man nach Wurzelziehen:
[mm] $s\left( n + \frac{1}{2} \right) [/mm] = [mm] 2^{n} \cdot \sqrt{2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Di 02.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die Antwort - ich glaub', das habe ich verstanden.
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Da unterliegst Du leider einem Trugschluß, daß [mm] $\vektor{x \\ n}$ [/mm] immer positiv ist.
Für reelle $x_$ ist der Binomialkoeffizient folgendermaßen definiert:
[mm] $\vektor{x \\ n} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{\overbrace{x*(x-1)*(x-2)*...*(x-n+1)}^{= \ n \ Faktoren}}{n!}$
[/mm]
Beispiel: [mm] $\vektor{\bruch{3}{2} \\ 3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*\left(\red{-}\bruch{1}{2}\right)}{3!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\bruch{3}{8}}{6} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{16}$
[/mm]
Vielleicht (er)klärt das auch einiges zur Teilaufgabe c.) .
Ich habe es jetzt nicht zu Ende gerechnet, aber mit dem Quotientenkriterium sollte es wohl hinhauen (hoffe ich) ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, ich habe es dann jetzt nochmal mit dem Quotientenkriterium probiert:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = ... = [mm] |\bruch{x-n}{n+1}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{n+1}-\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}| \le |\bruch{x}{n+1}| [/mm] <1 für n>x-1
Aber kann man das so abschätzen? Es soll ja für alle [mm] x\in\IR [/mm] gelten. Und kann ich das n abhängig von x wählen? Wenn nicht, wie schätze ich das Ganze dann ab?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 01.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
> Aber kann man das so abschätzen? Es soll ja für alle $ [mm] x\in\IR [/mm] $ gelten.
Du betrachtest eine Reihe, in der eine Unbekannte [mm] $x\in\IR$ [/mm] vorkommt. Diese Unbekannte ist wie eine Konstante zu behandeln, du kannst nur keine Aussagen über ihren genauen Wert machen; was du weißt ist aber, dass sie konstant ist. Hier, wie so oft, reicht dir die Informaiton, dass $x$ konstant ist, eine genaue Kenntnis der Wertes von $x$ ist nicht notwendig, denn: wenn $x$ fest ist, existiert eine natürliche Zahl [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n_0>\vert x\vert$. [/mm] Für alle [mm] $n\in\IN,n>n_0$ [/mm] ist dann erstrecht [mm] $n>n_0>x$, [/mm] also [mm] $\frac{x}{n+1}<1$. [/mm] Verstehst du, was ich dir damit sagen will? $x$ ist eine Konstante und du musst zeigen, dass es ein natürliches [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] gibt, sodass für alle [mm] $n>n_0$ [/mm] der Quotient [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] einen Wert annimmt, der kleiner als eine Konstante kleiner 1 ist. Bei dieser Untersuchung darfst du $n$ beliebig varriieren - du musst ja lediglich ein für das Problem passendes finden; dies klappt hier wunderbar, denn du musst $n$ nur so wählen, dass es $x$ übertrifft. Zurück zu obigem: für [mm] $n>n_0$ [/mm] haben wir nun [mm] $\frac{x}{n+1}<\frac{x}{n_0+1}<\frac{n_0}{n_0+1}<1$. [/mm] Der Wert von [mm] $\frac{n_0}{n_0+1}$ [/mm] ist genau die gesuchte Konstante kleiner 1. Damit konvergiert die Reihe.
Ach übrigens: eine Taylorreihenentwicklung von [mm] $(1+a)^x$ [/mm] zeigt, dass [mm] $(1+a)^x=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{x\\ n} a^n$ [/mm] ist - insbesondere ist also [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{x\\ n}=2^x$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 02.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Danke für die Erklärung. Allerdings verwirrt mich das Ende etwas:
> > Aber kann man das so abschätzen? Es soll ja für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] gelten.
>
> Du betrachtest eine Reihe, in der eine Unbekannte [mm]x\in\IR[/mm]
> vorkommt. Diese Unbekannte ist wie eine Konstante zu
> behandeln, du kannst nur keine Aussagen über ihren genauen
> Wert machen; was du weißt ist aber, dass sie konstant ist.
> Hier, wie so oft, reicht dir die Informaiton, dass [mm]x[/mm]
> konstant ist, eine genaue Kenntnis der Wertes von [mm]x[/mm] ist
> nicht notwendig, denn: wenn [mm]x[/mm] fest ist, existiert eine
> natürliche Zahl [mm]n_0\in\IN[/mm] mit [mm]n_0>\vert x\vert[/mm]. Für alle
> [mm]n\in\IN,n>n_0[/mm] ist dann erstrecht [mm]n>n_0>x[/mm], also
> [mm]\frac{x}{n+1}<1[/mm]. Verstehst du, was ich dir damit sagen
> will? [mm]x[/mm] ist eine Konstante und du musst zeigen, dass es ein
> natürliches [mm]n_0\in\IN[/mm] gibt, sodass für alle [mm]n>n_0[/mm] der
> Quotient [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm] einen Wert annimmt, der
> kleiner als eine Konstante kleiner 1 ist. Bei dieser
> Untersuchung darfst du [mm]n[/mm] beliebig varriieren - du musst ja
> lediglich ein für das Problem passendes finden; dies klappt
> hier wunderbar, denn du musst [mm]n[/mm] nur so wählen, dass es [mm]x[/mm]
> übertrifft.
Das habe ich doch gemacht, indem ich geschrieben habe: x>n-1 - war das also richtig?
> Zurück zu obigem: für [mm]n>n_0[/mm] haben wir nun
> [mm]\frac{x}{n+1}<\frac{x}{n_0+1}<\frac{n_0}{n_0+1}<1[/mm]. Der Wert
> von [mm]\frac{n_0}{n_0+1}[/mm] ist genau die gesuchte Konstante
> kleiner 1. Damit konvergiert die Reihe.
Aber dann müsste ich ja doch ein [mm] n_0 [/mm] angeben!?
> Ach übrigens: eine Taylorreihenentwicklung von [mm](1+a)^x[/mm]
> zeigt, dass [mm](1+a)^x=\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{x\\ n} a^n[/mm]
> ist - insbesondere ist also
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{x\\ n}=2^x[/mm].
Das folgt auch direkt aus dem binomischen Lehrsatz und ich habe es mir schon eingeprägt. 
Viele Grüße
Christiane
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Das war ja Blödsinn, was ich da gedacht hatte...
