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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Do 20.05.2010 | | Autor: | manolya |
| Aufgabe | | Wie hilft mir diese Formel weiter? |
Hallo alle zusammen,
Also mit dieser Formel [mm] f(x)=a*e^{kt} [/mm] kann ich exponentiellen Wachstum berechnen, z.B. : Die Vervielfachung von Viren binnen Stunden.
Der rechnerische Weg: n(t)= n0 * [mm] 10^{(t/5h)}
[/mm]
n(t)= n0 [mm] *(e^{ln(10)})^{(t/5h)}
[/mm]
n(t)= n0 * [mm] e^{ln(10)*(t/5h)}
[/mm]
n(t)= n0 * [mm] e^{ln(10)/5h)*t)}
[/mm]
k = ln(10)/5=0,4605
[mm] n(t)=500*e^{0,4605t}
[/mm]
So, ich verstehe die aufeinanderfolgenden Schritte, aber ich kann die Stelle ,wo das "e" eingesetzt wird , nicht nachvollziehen.
Wäre wirklich dringend auf Eure Hilfe angewiesen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Do 20.05.2010 | | Autor: | manolya |
Vielleicht wäre es hilfreicht wenn ich noch folgende Angaben gebe:
Alle 5 STunden verzehnfacht sich die Zahl von anfänglich 500 Viren.
Das exponentielle Wachstum sooll mit Hilfe der e-Funktion dargestellt werden.
n(t)= die Anzahl der Viren
t = gemessen in Stunden
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich kann man Wachstumsprozesse oder Zerfallsgesetze mit jeder Grundzahl a beschreiben.
also etwa, wenn sich etwas in der zeit td verdoppelt :
n(t)=n(0)*2^|t/td)
wenn es sich in der Zeit tv vervierfacht,
[mm] n(t)=n(0)*4^{t/tv} [/mm] usw, bei dir hat es sich in 5h verzehnfacht, also [mm] n(t)=n(0)*10^{t/5h}
[/mm]
nun sind aber die funktionen [mm] 2^x, 4^x [/mm] usw nicht so gut vertafelt, bzw im Computer, ausserdem ist ihre Ableitung nicht so einfach. Deshalb nimmt man üblicherweise die Grundzahl e, und will [mm] n(t)=n(0)*e^{t/\tau}
[/mm]
dann ist [mm] \tau [/mm] die Zeit, in dem es e mal soviel geworden ist, also ungefähr 2,718 mal so viel.
so jetz muss man [mm] 2^x [/mm] oder [mm] 10^x [/mm] oder allgemein [mm] a^x [/mm] umschreiben.
Dazu benutzt man dass [mm] e^{lna}=a [/mm] wobei lna die Kurzform von
$_eloga$ ist.
dann hat man [mm] 10=e^{ln10} [/mm] und [mm] 10^r=(e^{ln10})^r=e^{(ln10)*r}
[/mm]
jetzt für r dein t/5h eingesetzt, und du hast es hoffentlich verstanden.
dann nennt man den Faktor bei t noch k und hat
[mm] n(t)=n(0)*e^{k*t}
[/mm]
damit kannst du k jederzeit ausrechnen, zur Sicherheit noch für die Verdopplung. Die Viren verdoppeln sich in 3Min
also [mm] n(t)=n(0)*2^{t/3min}
[/mm]
[mm] 2=e^{ln2}
[/mm]
[mm] 2^{t/3min}=e^{ln2*(t/3min)}
[/mm]
k=ln2/3min=0.23/min
und damit [mm] n(t)=n(09*e^{0.23/min*t}
[/mm]
jetzt klar?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 20.05.2010 | | Autor: | manolya |
Dies habe ich jetzt einigermaßen (hoffentlich) verstanden.
Wie muss ich dann bei deiser aufgabe vorangehen:
Die Bevölkerung wächst exponentiell. IIM Jahre 2000 gab es 4.000.000.000 Menschen,im Jahre 2010 gab es 4.100.000.000.
Wie viele Menschen wird es im Jahr 3000 gebe,wie viele gab es bei der Geburt Jesu und wann gab es genau 2 Menschen? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 20.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo manolya!
Es ist wieder "nur" die Wachstumsformel:
$$N(t) \ = \ [mm] N_0*e^{k*t}$$
[/mm]
Wählen wir uns ein Bezugsjahr, z.B. 2000, dann ergibt sich:
[mm] $$N(t_0=0) [/mm] \ = \ [mm] N_0*e^{k*0} [/mm] \ = \ 4.000.000.000$$
Nun setzen wir auch das andere Wertepaar ein:
[mm] $$N(t_1=10) [/mm] \ = [mm] N_0*e^{k*10} [/mm] \ = \ 4.100.000.000$$
Daraus lassen sich nun [mm] $N_0$ [/mm] und $k_$ ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 20.05.2010 | | Autor: | manolya |
und wie:(:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 20.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo manolya!
Ein bisschen mitmachen musst Du schon hier ...
Aus der ersten Gleichung lässt sich [mm] $N_0$ [/mm] doch quasi ablesen. Setze dies in die 2. Gleichung ein und stelle nach $k \ = \ ...$ um (Stichwort:  Logarithmus).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 20.05.2010 | | Autor: | manolya |
[mm] f(x)=N0*e^{k*10} [/mm] |ln ?
aber was brigt mir das
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 20.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo manolya!
Du musst aber auch gegebene Tipps befolgen!
Ist dies die korrekte zweite Gleichung? Nein, denn da fehlt das bekannte Ergebnis.
Und den Wert für [mm] $N_0$ [/mm] hast Du auch nicht eingesetzt.
Gruß
Loddar
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