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Exponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Di 22.09.2009
Autor: moody

Aufgabe
f(x) = [mm] 2+3x-2^{x+1} [/mm]

Hallo,

nach langer Abwesenheit melde ich mal direkt mit einer Frage zurück.

Die Funktion f(x) = [mm] 2+3x-2^{x+1} [/mm] ist gegeben und nun würden mich erste und zweite Ableitung sowie die Nullstellen interessieren.

$f'(x) = 3 - ln2 * [mm] 2^{x+1}$ [/mm]

Und jetzt kommt die zweite Ableitung:

$f''(x) =  -ln2 * [mm] 2^{x+1}$ [/mm] Anwendung der Produktregel

$f'(x) = 0 * [mm] 2^{x+1} [/mm] -ln2 * ln2 [mm] 2^{x+1}$ [/mm] Die Ableitung vom Ln einer Konstanten ist 0

$f'(x) = [mm] (-ln2)^2 [/mm] * [mm] 2^{x+1}$ [/mm]

Stimmt das soweit?

Und bei der Nullstellenbestimmung komme ich gar nicht weiter:

2 + 3x - [mm] 2^{x+1} [/mm] = 0

2 + 3x = [mm] 2^{x+1} [/mm] | [mm] log_{2} [/mm]

[mm] log_{2} [/mm] (2 + 3x )= x+1

Jetzt kriege ich das nich sauber nach x aufgelöst.

Wäre für Hilfestellungen dankbar,

lg moody

        
Bezug
Exponentialfunktion: probieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Di 22.09.2009
Autor: Loddar

Hallo moody!


Zunächst zur Nullstelle ... diese Gleichung lässt sich nicht geschlossen nach $x \ = \ ...$ umstellen.

Von daher musst Du hier entweder ein Näherungsverfahren (wie z.B. das MBNewton-Verfahren) bemühen.
Oder Du probierst mal einige x-Werte aus. Das ist als Lösung durchaus legitim.



> f(x) = [mm]2+3x-2^{x+1}[/mm]
>
> [mm]f'(x) = 3 - ln2 * 2^{x+1}[/mm]

[ok]

  

> Und jetzt kommt die zweite Ableitung:
>  
> [mm]f''(x) = -ln2 * 2^{x+1}[/mm] Anwendung der Produktregel

Kann man machen, muss man aber nicht ...

Schließlich ist [mm] $-\ln(2)$ [/mm] ein konstanter Faktor.

  

> [mm]f'(x) = 0 * 2^{x+1} -ln2 * ln2 2^{x+1}[/mm] Die Ableitung vom Ln
> einer Konstanten ist 0
>  
> [mm]f'(x) = (-ln2)^2 * 2^{x+1}[/mm]

[notok] Das Minuszeichen gehört nicht in die Klammer.


Gruß
Loddar


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