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| Aufgabe | In einer Entwicklungsabteilung einer Ventilfabrik werden verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter befinden sich 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw. Abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt.
Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben durch:
[mm] V'(t)=0,6*e^{-0,01*t} [/mm] ; t in Minuten, V'(t) in Liter pro Minute
-Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter und mit welchem Volumen ist langfristig zu rechnen? |
Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe auf zwei verschiedene Weisen gelöst, die auch übereinstimmen-allerdings habe ich an diesem Konkreten Beispiel noch einige GRUNDLEGENDE fragen zur Integralrechnung.
Zunächst Lösungsweg 1:
Man bestimmt die (Stamm) Funktion, welche das Wasservolumen in Abhängigkeit von t beschreibt: V(t)= [mm] \bruch{0,6}{-0,01}*e^{-0,01*t}+C
[/mm]
C wird mithilfe der gegebenen Bedingung bestimmt:
[mm] C-60*e^{-0,01*t} [/mm] mit V(0)=50 ergibt sich C=110
--> V(t)= [mm] 110-60*e^{-0,01*t} [/mm] und damit V(60)=77,1
Lösungsweg 2:
Ansatz: Wasservolumen nach 1h:
[mm] 50+\integral_{0}^{60}{V'(t) dt}=77,01
[/mm]
Meine Frage nun:
Lösungsweg 2 habe ich eher Instinktiv gewählt-das Integral einer der momentanen Änderungsrate V'(t) in Liter pro Minute beschreibt doch die
Fläche unter dieser Funktion und damit konkret die Einheit:
l/min * min = l --> Liter?! Liege ich damit richtig?
Deshalb bin ich davon ausgegangen, wenn ich die 50 Liter anfangs berücksichtige und zu dem Integral von der momentanen Änderungsrate V'(t) addiere bekomme ich 50+ die Menge an Wasser, die in 1h dazu fließt???
Was mich nun allgemein an der Integralrechnung verunsichert:
Was erhalte ich für ein Ergebnis, wenn ich anstatt V'(t) = momentane Änderungsrate nun V(t) = Wasservolumen zu einem bestimmten Zeitpunkt integriere???
Es ist ja wieder die Fläche unter der Kurve also von den Einheiten:
l*l [mm] =l^2?...
[/mm]
Das ist mir grade noch überhaupt nicht klar....
In diesem Zusammenhang: Wenn ich die durchschnittliche Wassermenge in einem Intervall (a;b)berechnen will dann gilt
[mm] \bruch{1}{b-a} [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}...aber [/mm] mache ich das dann mit V'(t) oder mit V(t)??? und wo liegt der Unterschied in den Egebnissen??
Es wäre wirklich sehr freundlich, wenn jemand meine Frage versteht und Licht in's Dunkle bringen könnte=)
Danke schonmal allen im Voraus und mfg,
Theoretix
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Hallo,
> In einer Entwicklungsabteilung einer Ventilfabrik werden
> verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter
> befinden sich 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw.
> Abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt.
> Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben
> durch:
> [mm]V'(t)=0,6*e^{-0,01*t}[/mm] ; t in Minuten, V'(t) in Liter pro
> Minute
>
> -Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter
> und mit welchem Volumen ist langfristig zu rechnen?
> Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe auf zwei verschiedene
> Weisen gelöst, die auch übereinstimmen-allerdings habe
> ich an diesem Konkreten Beispiel noch einige GRUNDLEGENDE
> fragen zur Integralrechnung.
> Zunächst Lösungsweg 1:
> Man bestimmt die (Stamm) Funktion, welche das
> Wasservolumen in Abhängigkeit von t beschreibt: V(t)=
> [mm]\bruch{0,6}{-0,01}*e^{-0,01*t}+C[/mm]
> C wird mithilfe der gegebenen Bedingung bestimmt:
> [mm]C-60*e^{-0,01*t}[/mm] mit V(0)=50 ergibt sich C=110
> --> V(t)= [mm]110-60*e^{-0,01*t}[/mm] und damit V(60)=77,1
>
> Lösungsweg 2:
> Ansatz: Wasservolumen nach 1h:
> [mm]50+\integral_{0}^{60}{V'(t) dt}=77,01[/mm]
>
> Meine Frage nun:
> Lösungsweg 2 habe ich eher Instinktiv gewählt-das
> Integral einer der momentanen Änderungsrate V'(t) in Liter
> pro Minute beschreibt doch die
> Fläche unter dieser Funktion und damit konkret die
> Einheit:
> l/min * min = l --> Liter?! Liege ich damit richtig?
Ja, du integrierst nämlich [mm] \integral_{0}^{60}{\bruch{dV}{dt} dt}=\integral_{0}^{60}{dV}.
[/mm]
Integrierst du also [mm] \bruch{Liter}{Minute} [/mm] nach der Zeit, erhältst du Liter.
> Deshalb bin ich davon ausgegangen, wenn ich die 50 Liter
> anfangs berücksichtige und zu dem Integral von der
> momentanen Änderungsrate V'(t) addiere bekomme ich 50+ die
> Menge an Wasser, die in 1h dazu fließt???
Ja.
> Was mich nun allgemein an der Integralrechnung
> verunsichert:
> Was erhalte ich für ein Ergebnis, wenn ich anstatt V'(t)
> = momentane Änderungsrate nun V(t) = Wasservolumen zu
> einem bestimmten Zeitpunkt integriere???
Ich meine es ist relativ sinnfrei eine Wassermenge zu integrieren. Ob das nun überhaupt eine physikalische Größe ist, weiß ich nicht.
> Es ist ja wieder die Fläche unter der Kurve also von den
> Einheiten:
> l*l [mm]=l^2?...[/mm]
> Das ist mir grade noch überhaupt nicht klar....
> In diesem Zusammenhang: Wenn ich die durchschnittliche
> Wassermenge in einem Intervall (a;b)berechnen will dann
> gilt
> [mm]\bruch{1}{b-a}[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}...aber[/mm] mache
> ich das dann mit V'(t) oder mit V(t)??? und wo liegt der
> Unterschied in den Egebnissen??
Möchtest du die durchschnittliche Wassermenge oder Zuflußmenge in einem Intervall ? Für ersteres musst du die Menge im Tank integrieren, ergo V(t), wenn du die durchschnittliche Zuflußmenge in einem Intervall haben willst, musst du natürlich die Änderung über einem Intervall integrieren, also V'(t). Damit wäre auch geklärt, welchen Sinn es hat eine Wassermenge zu integrieren, zumindest nach der Zeit ;).
> Es wäre wirklich sehr freundlich, wenn jemand meine Frage
> versteht und Licht in's Dunkle bringen könnte=)
> Danke schonmal allen im Voraus und mfg,
> Theoretix
>
Ich hoffe das hat ein bisschen geholfen.
Lg
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Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Zusammenfassend:
Wenn ich V'(t) nach der Zeit integriere in einem Intervall bekomme ich die gesamte Wassermenge, die zwischen a und b insgesamt im Behälter sind?
Wenn ich also die durchschn. Menge Wasser in einem Intervall (a;b) bestimmen will gilt: [mm] \bruch{1}{b-a}* \integral_{a}^{b}{V'(t) dt}?
[/mm]
oder?
weil oben habe ich ja schon gezeigt, dass [mm] \integral_{0}^{60}{V'(t) dt}
[/mm]
die Gesamtwassermenge nach 1h ist.
Was mache ich nun, wenn nach der durchschn. Wasserzuflussmenge gefragt ist?
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> Erstmal danke für die schnelle Antwort!
> Zusammenfassend:
> Wenn ich V'(t) nach der Zeit integriere in einem Intervall
> bekomme ich die gesamte Wassermenge, die zwischen a und b
> insgesamt im Behälter sind?
Nein, du bekommst die Wassermenge die dort hinzufließt! Du hast 50 Liter drin und dann fließen 22,1 Liter dazu, ergo hast du nach 60 Minuten 77.1 Liter drin. Willst du jetzt wissen wieviel Liter durchschnittlich im Tank sind musst du die Mengenfunktion (V(t) ) integrieren.
> Wenn ich also die durchschn. Menge Wasser in einem
> Intervall (a;b) bestimmen will gilt: [mm]\bruch{1}{b-a}* \integral_{a}^{b}{V'(t) dt}?[/mm]
s.o.
> oder?
> weil oben habe ich ja schon gezeigt, dass
> [mm]\integral_{0}^{60}{V'(t) dt}[/mm]
> die Gesamtwassermenge nach 1h
> ist.
> Was mache ich nun, wenn nach der durchschn.
> Wasserzuflussmenge gefragt ist?
erklärt sich oben.
Lg
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ok ich weiß ungefähr was du meinst.
Habe grade ein paar überlegungen dazu angestellt.
Wir haben V'(t) und V(t) und ein Intervall (a;b) mit a=0
Die Fläche unter V'(t) hatten wir ja bereits ist die Einheit "Liter",
also ist [mm] \integral_{a}^{b}{V'(t) dt} [/mm] die Menge Wasser, die in diesem Intervall dazu fließen?!
Das gleiche Ergebnis bekommt man für V(b)=
Wassermenge zum Zeitpunkt t=b:
[mm] V(b)=\integral_{a}^{b}{V'(t) dt} [/mm] +50?
d.h. V(t) berücksichtigt die anfangs vorhandenen 50 l, V'(t) nur den Zufluss innerhalb des Intervalls?
Sry, vielleicht bin ich schwer von Begriff, aber nochmals:
Welche Bedeutung hat nun das Integral über V(t)??
Mir ist schon iwie klar, dass man durch Teilen damit die durschn. Menge berechnen kann, jedoch nicht was das Integral an sich (so unsinnig der Wert auch sein mag) für eine mathematische Bedeutung hat?
nochmals LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Di 06.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Theoretix
Wenn du V= [mm] \integral_{a}^{b}{V'(t)dt}=V(b)-V(a) [/mm] hinschreibst, a,b Anfangs- und Endzeit, dann hast du natürlich nur was zwischen a und b zugeflossen ist. um V(b) zu haben, musst du dann noch V(a) addieren. es ist also richtig was da steht.
Dagegen gibt V(t)0 V= [mm] \integral_{0}^{t}{V'(t')dt'}=V(t)+C
[/mm]
nur alle möglichen V zur Zeit t an, unabhängig von der Anfangsmenge. C wird dann festgelegt, wenn man V(0) oder V(t1) kennt.
Du musst dir vorstellen, dass ja V' nur die Steigung angibt, d.h. V' ist für alle Funktionen gleich, die in Richtung der "y-Achse" verschoben sind.
Jetzt zum Integral über V(t)
stell dir vor du hast für bestimmte Zeitintervalle immer konstante Volumen: 1. Std [mm] V1=10m^3 [/mm] , dann 2Std [mm] V2=30m^3
[/mm]
dann 0.5h [mm] 20m^3
[/mm]
jetz willst du die "durchschnittliche" Menge pro Stund wissen.
Was rechnest du? [mm] (10m3*1h+30m^3*2h+20m^3*0.5h)/(1h+2h+0.5h) [/mm]
Wenn die Zeitintervalle kürzer sind , in denen sich V ndert, hast du mehr summanden, wenn sich V kontinuierlich ändert, eben das Integral V= [mm] \integral_{t1}^{t2}{V(t)dt}
[/mm]
da muss man noch durch die Gesamtzeit t2-t1 dividieren um das durchschnittlichen Volumen wrend der betrachteten Zeit zu wissen.
die dimension des integrals ist nicht [mm] (m^3)^2 [/mm] sondern [mm] m^3*h [/mm] , da du dann wieder durch die Zeit (in h) dividierst einfach [mm] m^3.
[/mm]
V' hatte die Dimension [mm] m^3/h [/mm] das Integral, bzw schon V'*dt die Dimension [mm] m^3
[/mm]
Jetzt klar?
Gruss leduart
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