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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Sa 15.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie die komplexen Zahlen
[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi}
[/mm]
und
[mm] e^{-i*n*\pi +2*k*\pi}
[/mm]
Anmerkung: Das ist die vollständige Aufgabenstellung... Ich denke, es geht darum, die komplexe Zahl in die Gaussche Form z = a +b*i zu bringen. |
Moin Moin,
aber wie bringe ich diese Zahlen in die Form z = a +b*i ?
Zunächst weiß ich, dass die Länge von z = 1 ist, da vor dem [mm] e^{...} [/mm] kein r steht (bzw. r=1). Richtig?
Meine Idee
Aufspalten
[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*n*\pi}*e^{2*k*\pi}
[/mm]
Erste Frage:
Da sich die Funktion alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholt, kann ich dann hier nicht einfach [mm] +2*k*\pi [/mm] vernachlässigen ?
Also
[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*n*\pi}
[/mm]
Dann würde ich den ersten Faktor mithilfe der trigonometrischen Form schreiben...
[mm] e^{i*n*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*\pi}^n
[/mm]
Ich betrachte im folgenden nur [mm] e^{i*\pi}
[/mm]
[mm] e^{i*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*\alpha} [/mm]
z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha)
[/mm]
mithin ist z = 1*(cos [mm] \pi [/mm] + i*sin [mm] \pi)
[/mm]
z = -1 +i*0
z = -1
bzw. bei der zweiten Zahl
[mm] e^{-i*n*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*(-\pi)}^n
[/mm]
Ich betrachte im folgenden nur [mm] e^{i*(-\pi)}
[/mm]
[mm] e^{i*(-\pi)} [/mm] = [mm] e^{i*\alpha} [/mm]
z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha)
[/mm]
mithin ist z = 1*(cos [mm] -\pi [/mm] + i*sin [mm] -\pi)
[/mm]
z = -1 +i*0
z = -1
Also entsteht hier zweimal dieselbe Zahl???
Danke für eure Hilfe!
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Wenn du davon ausgehst, dass n [mm] \in \IZ [/mm] ist, solltest du auch davon ausgehen, dass k [mm] \in \IZ [/mm] ist (meistens ist das so gemeint).
Dann kommt [mm] (-1)^k [/mm] heraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 15.09.2018 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Wenn du davon ausgehst, dass n [mm]\in \IZ[/mm] ist, solltest du
> auch davon ausgehen, dass k [mm]\in \IZ[/mm] ist (meistens ist das
> so gemeint).
>
> Dann kommt [mm](-1)^k[/mm] heraus.
also einmal würde ich davon ausgehen, dass n [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \in \IZ [/mm] gilt.
Wie kommst du dann auf deine Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 15.09.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh,
ich denke, HJKweseleit hat da einen kleinen Fehler gemacht...
Du schreibst oben richtigerweise
[mm]e^{in\pi+2k\pi}=e^{in\pi}\cdot e^{2k\pi}[/mm].
Nun ist aber [mm]e^{2k\pi}\in\mathbb R[/mm] und damit ist der Betrag der Zahl nur im Fall [mm]k=0[/mm] gleich 1.
Weiter ist [mm]e^{in\pi}=(-1)^n[/mm] für [mm]n\in\mathbb Z[/mm], was man sich am Einheitskreis leicht klarmachen kann.
Insgesamt ist dann
[mm]e^{in\pi+2k\pi}=(-1)^n\cdot e^{2k\pi}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Ja, ich habe k und n verwechselt:
[mm] e^{2k\pi}=1 [/mm] und [mm] e^{n\pi}=(e^{\pi})^n=(-1)^n, [/mm] somit
[mm] (-1)^n
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Sa 15.09.2018 | | Autor: | Chris84 |
Huhu
> Ja, ich habe k und n verwechselt:
>
> [mm]e^{2k\pi}=1[/mm] und [mm]e^{n\pi}=(e^{\pi})^n=(-1)^n,[/mm] somit
Du machst wieder den Fehler, dass [mm] $e^{2k\pi}=1$. [/mm] Da steht doch gar kein $i$ ;)
>
> [mm](-1)^n[/mm]
Gruss,
Chris
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Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande. (Goethe)
Ja, ich bin z.Zt. wohl ziemlich blind. Also alles murks, was ich geschrieben habe. Sorry!
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