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Exponentialer Zerfallsprozess: Aufgabe 9a,b,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 So 30.11.2008
Autor: Airgin

Aufgabe
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab, und zwar bei einem Aufstieg von 1000m um 12%. Am Erdboden herrsche der Luftdruck p=1013hPa.
a.) Wie hoch ist der Luftdruck auf 100m über dem Erdboden? In welcher Höhe ist der Luftdruck auf die Hälfte von p gefallen?
b.) Bestimme k so, dass die Funktion p mit p(x) = p*e^(-k*x) den Luftdruck in einer Höhe von x Metern angibt.

Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich diese Aufgaben lösen kann. Ich weiß nur dass ich e rechnen muss und diese funktion irgendwie integrieren: N(m)= N0 * e^(-k*m)


Kann mir jemand erklären wie man das löst?

LG

        
Bezug
Exponentialer Zerfallsprozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 01.12.2008
Autor: djmatey

Hallo,

Aufgaben mit exponentiellem Wachstum oder exponentieller Abnahme kann man eigentlich meistens durch das Aufstellen einer Wachstumsfunktion lösen, die einem den Ergebniswert nach einer bestimmten Zeit (oder in diesem Fall Strecke/Höhe) ausgibt:

f(x) = c * [mm] a^{x} [/mm]

c: Startwert, in diesem Fall also 1013
a: Zu- bzw. Abnahmefaktor, in diesem Fall 1 - 0,12 = 0,88, denn du willst ja wissen, wie viel Druck "überbleibt"
x: Der direkt mit a im Zusammenhang stehende Umstandsfaktor (Unter welchen Umständen nimmt der Druck um 12% ab? Hier: 1000m), d.h. x wird in Kilometerschritten angegeben.

Zu Aufgabenteil a):
Strecke 100m ist vorgegeben. Setze diese in die Funktion ein, um den Restdruck zu erhalten: [mm] x=\bruch{1}{10} [/mm]
Im zweiten Teil von a) ist das Ergebnis, also der Restdruck 0,5 vorgegeben. Dieser entspricht f(x). Also 0,5 für f(x) einsetzen und nach x auflösen, u.a. durch Logarithmieren.

Zu Aufgabenteil b):
Deine oben aufgestellte Funktion liefert dir den Druck in x Kilometer Höhe. Stelle dir eine Funktion auf, die dir den Druck in x Metern angibt, indem du in der Funktion x durch [mm] \bruch{x}{1000} [/mm] ersetzt.
Die in b) angegebene Funktion soll dasselbe machen (nur in Abhängigkeit von e), d.h. du musst deine Funktion mit ihr gleichsetzen und nach k auflösen, u.a. mit Logarithmieren.

Viel Erfolg und schöne Grüße,
djmatey

Bezug
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