Explizite Darstellung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo.
Ich habe eine Folge [mm] a_{n} [/mm] rekursive durch [mm] a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}. [/mm] und [mm] a_{0}=0.
[/mm]
Wie komme ich auf eine explizite Darstellung von [mm] a_{n} [/mm] ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:57 Mo 05.10.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo.
>
> Ich habe eine Folge [mm]a_{n}[/mm] rekursive durch
> [mm]a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}.[/mm] und [mm]a_{0}=0.[/mm]
>
> Wie komme ich auf eine explizite Darstellung von [mm]a_{n}[/mm] ?
Nun, das kannst du hier sogar sehr einfach bestimmen. Du hast ja einen Anfangspunkt mit [mm]a_0 = 0[/mm]
Daraus folgt über die rekursive Definition:
[mm]a_1 = 0 + \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} = \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}[/mm]
[mm]a_2 = a_1 + \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} = \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} + \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} = \bruch{2}{(2n+1)(2n-1)}[/mm]
(...)
Jetzt du. 
Erkennst du ein Muster?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:29 Mo 05.10.2009 | | Autor: | elvis-13.09 |
meinst du [mm] a_{n}=\bruch{n}{(2n+1)(2n-1)} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 06:08 Mo 05.10.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo.
> >
> > Ich habe eine Folge [mm]a_{n}[/mm] rekursive durch
> > [mm]a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}.[/mm] und [mm]a_{0}=0.[/mm]
> >
> > Wie komme ich auf eine explizite Darstellung von [mm]a_{n}[/mm] ?
>
> Nun, das kannst du hier sogar sehr einfach bestimmen. Du
> hast ja einen Anfangspunkt mit [mm]a_0 = 0[/mm]
>
> Daraus folgt über die rekursive Definition:
>
> [mm]a_1 = 0 + \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} = \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}[/mm]
Richtig wäre
[mm]a_1 = 0 + \bruch{1}{(2*0+1)(2*0-1)} = -1[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = -1+ [mm] \bruch{1}{(2*1+1)(2*1-1)} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3} [/mm]
Beachte lieber, dass sich [mm] \bruch{1}{(2n+1)(2n-1)} [/mm] in der Form [mm] \bruch{A}{(2n-1)} -\bruch{B}{(2n+1)} [/mm] schreiben lässt. Da sollte sich eine Teleskopsumme ergeben.
Gruß Abakus
>
> (...)
> Jetzt du.
>
> Erkennst du ein Muster?
|
|
|
| |
|
> Hallo.
>
> Ich habe eine Folge [mm]a_{n}[/mm] rekursive durch
> [mm]a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}.[/mm] und [mm]a_{0}=0.[/mm]
>
> Wie komme ich auf eine explizite Darstellung von [mm]a_{n}[/mm] ?
Hallo,
rechne doch einfach erstmal die ersten 5-10 Folgenglieder aus. Dann kommst Du bestimmt auf eine Idee - ngelawelche Du anschließend mit Induktion beweisen kannst.
Also: wie lauten die ersten Folgenglieder? Wie lautet Deine Vermutung für die explizite Darstellung?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo
muss eine kleine Korrektur bzgl. der Aufgabe machen:
Es gilt:
[mm] a_{1}=0 [/mm] und [mm] a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}.
[/mm]
also die ersten Glieder:
[mm] a_{1}=0
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{15}=\bruch{6}{15}=\bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{6}{15}+\bruch{1}{35}=\bruch{45}{105}=\bruch{3}{7}
[/mm]
ich hätte ja auf [mm] a_{n}=\bruch{n-1}{2n-1} [/mm] getippt aber sicher bin ich mir da nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mo 05.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> muss eine kleine Korrektur bzgl. der Aufgabe machen:
> Es gilt:
> [mm]a_{1}=0[/mm] und [mm]a_{n+1}=a_{n}+\bruch{1}{(2n+1)(2n-1)}.[/mm]
>
> also die ersten Glieder:
> [mm]a_{1}=0[/mm]
> [mm]a_{2}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]a_{3}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{15}=\bruch{6}{15}=\bruch{2}{5}[/mm]
>
> [mm]a_{4}=\bruch{6}{15}+\bruch{1}{35}=\bruch{45}{105}=\bruch{3}{7}[/mm]
>
> ich hätte ja auf [mm]a_{n}=\bruch{n-1}{2n-1}[/mm] getippt aber
> sicher bin ich mir da nicht.
Damit liegst Du richtig. Jetzt das ganze mit Induktion beweisen.
FRED
|
|
|
|
