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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:23 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | Sei $ X $ eine log-normalverteilte ZV $ X $ mit EW $ [mm] \mu \in \mathbb{R} [/mm] $, Varianz $ [mm] \sigma [/mm] ^2 > 0 $, sei ein $ [mm] \alpha \in [/mm] (0,1) $. Es gilt:
[mm] $ES_{ \alpha}(X)= \frac{1}{1-\alpha} e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}(1- \Phi(\Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha)-\sigma))$
[/mm]
wobei $ [mm] \Phi [/mm] $ die Standard-Normalverteilungsfunktion ist, $ [mm] \Phi^{-1} [/mm] ( [mm] \alpha) [/mm] $ das $ [mm] \alpha$-Quantil [/mm] von $ [mm] \Phi [/mm] $ ist und $ [mm] \phi [/mm] $ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung $ [mm] \Phi$ [/mm] ist. |
Hallo,
in meiner Berechnungen bin ich mir nicht sicher, ob die Integralgrenzen bei der Transformation richtig gesetzt wurden....
Könnte vielleicht jemand nachprüfen?? Es wäre prima..
[mm] ES_{ \alpha}(X) [/mm] = [mm] \frac{1}{1- \alpha} \int \limits_{\alpha}^{1}VaR(u)(X)du \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha} \int \limits_{\alpha}^{1} e^{\mu+ \sigma \Phi^{-1}(u) }du \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\alpha}^{1} e^{\sigma \Phi^{-1}(u) }du
[/mm]
Mit der Substitution $ [mm] \Phi^{-1}(u) [/mm] = v [mm] \Rightarrow \Phi(v) [/mm] = u [mm] \Rightarrow \phi [/mm] (v)dv = du $ erhalten wir
[mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\alpha}^{1} e^{\sigma \Phi^{-1}(u) }du [/mm] = [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} e^{\sigma v } \phi(v) [/mm] dv = [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} e^{\sigma v} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}}e^{ \frac{-v^2}{2}} [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{ \frac{2 \sigma v-v^2}{2}} [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{ \frac{-(v^2-2 \sigma v+\sigma^2)+\sigma^2 }{2}} [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} e^{ \frac{-(v-\sigma)^2}{2}} [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)}^{\infty} \phi(v-\sigma) [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \int \limits_{\Phi^{-1}(\alpha)-\sigma}^{\infty} \phi(v) [/mm] dv [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}[\Phi(v)]_{\Phi^{-1}(\alpha)-\sigma}^{\infty} \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{1- \alpha}e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} (1-\Phi(\Phi^{-1}(\alpha)-\sigma))
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Fr 08.02.2013 | | Autor: | meg |
nur überprüfen, please...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 08.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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