Exp. Wachstum von Pilzen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir ein Pilz auf ein Nährmedium übertragen, so verdoppelt sich jeden Tag die besiedelte Fläche. Nach 12 Tagen ist die gesamte Fläche bedeckt.
(1) Wie lange benötigen 2 Pilze um die gleiche Fläche zu besiedeln.
(2) Wie lange benötigen 5 Pilze um die gleiche Fläche zu besiedeln. |
Wenn möglich möchte ich auf die Verwendung des exp. Wachstumsgesetzes verzichten.
Irgendwie hab ich eine Denkblockade ^^.
also am
Tag 1 : [mm] 2^n [/mm] mit n = 0 ---> 1 [mm] m^2 (m^2 [/mm] nur angenommen)
Tag 2: [mm] 2^n [/mm] n = 1 ---> 2 [mm] m^2
[/mm]
.
.
.
Tag 12: 2^11 - --> 2048 [mm] m^2 [/mm] ---> maximal Fläche
Muss man dann nur z.B schauen wann 2^(x*n) diesen Wert erreicht? Oder wie könnte ich mir das überlegen
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Hallo newflemmli,
> Wir ein Pilz auf ein Nährmedium übertragen, so verdoppelt
> sich jeden Tag die besiedelte Fläche. Nach 12 Tagen ist
> die gesamte Fläche bedeckt.
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> (1) Wie lange benötigen 2 Pilze um die gleiche Fläche zu
> besiedeln.
> (2) Wie lange benötigen 5 Pilze um die gleiche Fläche zu
> besiedeln.
> Wenn möglich möchte ich auf die Verwendung des exp.
> Wachstumsgesetzes verzichten.
> Irgendwie hab ich eine Denkblockade ^^.
>
> also am
> Tag 1 : [mm]2^n[/mm] mit n = 0 ---> 1 [mm]m^2 (m^2[/mm] nur
> angenommen)
> Tag 2: [mm]2^n[/mm] n = 1 ---> 2 [mm]m^2[/mm]
> .
> .
> .
> Tag 12: 2^11 - --> 2048 [mm]m^2[/mm] --->
> maximal Fläche
>
> Muss man dann nur z.B schauen wann 2^(x*n) diesen Wert
> erreicht? Oder wie könnte ich mir das überlegen
Im Fall von 2 Pilzen hast Du am ersten Tag genau die doppelte Fläche,
als mit einem Pilz.
Da sich die besiedelte Fläche immer verdoppelt, ist nach ... Tagen
die gesamte Fläche bedeckt.
Gruss
MathePower
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also praktisch einfach nur 12/(Anzahl der Pilze)? oder gilt das bei 5 nicht mehr?
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Hallo newflemmli,
> also praktisch einfach nur 12/(Anzahl der Pilze)? oder gilt
Nein.
Ein Pilz am 0. Tag: besiedelte Fläche: A
Zwei Pilze am 0. Tag besidelte Fläche 2 A
Ein Pilz am 1. Tag: besiedelte Fläche:2 A
Zwei Pilze am 1. Tag besidelte Fläche 4 A
Ein Pilz am 2. Tag: besiedelte Fläche:4 A
Zwei Pilze am 2. Tag besidelte Fläche 8 A
Jetzt überlege, was daraus folgt.
> das bei 5 nicht mehr?
Hier ist es ähnlich, wie bei 2 Pilzen,
nur daß sich die besiedelte Fläche jedesmal verfünffacht.
Gruss
MathePower
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Ein Pilz am 0. Tag: besiedelte Fläche: A
Zwei Pilze am 0. Tag besidelte Fläche 2 A
Fünf Pilze am 0. Tag: 5 A
Ein Pilz am 1. Tag: besiedelte Fläche:2 A
Zwei Pilze am 1. Tag besidelte Fläche 4 A
Fünf Pilze 10 A
Ein Pilz am 2. Tag: besiedelte Fläche:4 A
Zwei Pilze am 2. Tag besidelte Fläche 8 A
5 Pilze 20 A
Dann ist für 1 Pilze die Formel: [mm] 2^n
[/mm]
2 Pilze die Formel: [mm] 2*(2^n)
[/mm]
5 Pilze die Formel: [mm] 5*(2^n)
[/mm]
dann setze ich einfach ein: 2^12=4096
und schaue wann [mm] 2*(2^n)=4096 [/mm] ? --> t=11 ? also nur ein Tag unterschied ?
langsam bin ich mehr verwirrt als vorher ^^
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Hallo newflemmli,
> Ein Pilz am 0. Tag: besiedelte Fläche: A
> Zwei Pilze am 0. Tag besidelte Fläche 2 A
> Fünf Pilze am 0. Tag: 5 A
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> Ein Pilz am 1. Tag: besiedelte Fläche:2 A
> Zwei Pilze am 1. Tag besidelte Fläche 4 A
> Fünf Pilze
> 10 A
>
> Ein Pilz am 2. Tag: besiedelte Fläche:4 A
> Zwei Pilze am 2. Tag besidelte Fläche 8 A
> 5 Pilze
> 20 A
>
> Dann ist für 1 Pilze die Formel: [mm]2^n[/mm]
> 2 Pilze die Formel: [mm]2*(2^n)[/mm]
> 5 Pilze die Formel: [mm]5*(2^n)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann setze ich einfach ein: 2^12=4096
> und schaue wann [mm]2*(2^n)=4096[/mm] ? --> t=11 ? also nur ein Tag
> unterschied ?
Ja, das stimmt.
>
> langsam bin ich mehr verwirrt als vorher ^^
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 27.09.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es gibt noch eine viel einfachere Erklärung:
Bei nur einem "Startpilz" dauert das Füllen der Fläche länger, als wenn von Beginn an schon 2 Pilze da gewesen wären.
Wie viel länger?
Natürlich so viele Tage länger, bis aus einem Startpilz 2 Pilze geworden sind.
Ab diesem Zeitpunkt dauert das Füllen so lange, als wären von Beginn an bereits 2 Pilze dagewesen.
Das Verdoppeln dauert einen Tag, also ist es mit 2 Startpilzen einen Tag kürzer als mit nur einem.
Weiter:
Bei nur einem "Startpilz" dauert das Füllen der Fläche länger, als wenn von Beginn an schon 5 Pilze da gewesen wären.
Diese Zeitdifferenz besteht genau aus der Zeit, in der aus einem Pilz 5 Pilze werden. Diese Zeit ist die Lösung der Gleichung [mm] 2^t=5 [/mm] (rund 2,32).
Bei 5 Pilzen dauert es also nur 12-2,32=9,68 Tage.
Gruß Abakus
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